所谓径向基函数 (Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。 通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数 , 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。

  最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。

  建议首选RBF核函数,因为:

  1. 能够实现非线性映射;( 线性核函数可以证明是他的一个特例;SIGMOID核函数在某些参数上近似RBF的功能。)
  2. 参数的数量影响模型的复杂程度,多项式核函数参数较多。
  3. the RBF kernel has less numerical difficulties.

  ———–那么,还记得为何要选用核函数么?———–

  如果提供的样本线性不可分,结果很简单,线性分类器的求解程序会无限循环,永远也解不出来。这必然使得它的适用范围大大缩小,而它的很多优点我们实在不原意放弃,怎么办呢?是否有某种方法,让线性不可分的数据变得线性可分呢?

  例子是下面这张图:

  我们把横轴上端点a和b之间红色部分里的所有点定为正类,两边的黑色部分里的点定为负类。试问能找到一个线性函数把两类正确分开么?不能,因为二维空间里的线性函数就是指直线,显然找不到符合条件的直线。

  但我们可以找到一条曲线,例如下面这一条:

  显然通过点在这条曲线的上方还是下方就可以判断点所属的类别(你在横轴上随便找一点,算算这一点的函数值,会发现负类的点函数值一定比0大,而正类的一定比0小)。这条曲线就是我们熟知的二次曲线,它的函数表达式可以写为:

  问题只是它不是一个线性函数,但是,下面要注意看了,新建一个向量y和a:

  这样g(x)就可以转化为f(y)=<a,y>,你可以把y和a分别回带一下,看看等不等于原来的g(x)。用内积的形式写你可能看不太清楚,实际上f(y)的形式就是:

  g(x)=f(y)=ay

  在任意维度的空间中,这种形式的函数都是一个线性函数(只不过其中的a和y都是多维向量罢了),因为自变量y的次数不大于1。

  看出妙在哪了么?原来在二维空间中一个线性不可分的问题,映射到四维空间后,变成了线性可分的

!因此这也形成了我们最初想解决线性不可分问题的基本思路——向高维空间转化,使其变得线性可分。

而转化最关键的部分就在于找到x到y的映射方法。遗憾的是,如何找到这个映射,没有系统性的方法(也就是说,纯靠猜和凑)。具体到我们的文本分类问题,文本被表示为上千维的向量,即使维数已经如此之高,也常常是线性不可分的,还要向更高的空间转化。其中的难度可想而知。

小Tips:为什么说f(y)=ay是四维空间里的函数?

大家可能一时没看明白。回想一下我们二维空间里的函数定义
g(x)=ax+b
变量x是一维的,为什么说它是二维空间里的函数呢?因为还有一个变量我们没写出来,它的完整形式其实是
y=g(x)=ax+b

y=ax+b
看看,有几个变量?两个,二维。
再看看
f(y)=ay
里面的y是三维的变量,再加上f(y)成为四维的了。

  用一个具体文本分类的例子来看看这种向高维空间映射从而分类的方法如何运作,想象一下,我们文本分类问题的原始空间是1000维的(即每个要被分类的文档被表示为一个1000维的向量),在这个维度上问题是线性不可分的。现在我们有一个2000维空间里的线性函数

f(x)=<w,x>+b

  注意向量的右上角有个 ’哦。它能够将原问题变得可分。式中的 w和x都是2000维的向量,只不过w是定值,而x是变量(好吧,严格说来这个函数是2001维的,哈哈),现在我们的输入呢,是一个1000维的向量x,分类的过程是先把x变换为2000维的向量x,然后求这个变换后的向量x与向量w的内积,再把这个内积的值和b相加,就得到了结果,看结果大于阈值还是小于阈值就得到了分类结果。

  你发现了什么?我们其实只关心那个高维空间里内积的值,那个值算出来了,分类结果就算出来了。而从理论上说, x是经由x变换来的,因此广义上可以把它叫做x的函数(有一个x,就确定了一个x,对吧,确定不出第二个),而w是常量,它是一个低维空间里的常量w经过变换得到的,所以给了一个w 和x的值,就有一个确定的f(x)值与其对应。这让我们幻想,是否能有这样一种函数K(w,x),他接受低维空间的输入值,却能算出高维空间的内积值<w,x>?

  如果有这样的函数,那么当给了一个低维空间的输入x以后,

g(x)=K(w,x)+b

f(x)=<w,x>+b

  这两个函数的计算结果就完全一样,我们也就用不着费力找那个映射关系,直接拿低维的输入往g(x)里面代就可以了(再次提醒,这回的g(x)就不是线性函数啦,因为你不能保证K(w,x)这个表达式里的x次数不高于1哦)。

  万幸的是,这样的K(w,x)确实存在(发现凡是我们人类能解决的问题,大都是巧得不能再巧,特殊得不能再特殊的问题,总是恰好有些能投机取巧的地方才能解决,由此感到人类的渺小),它被称作核函数(核,kernel),而且还不止一个,事实上,只要是满足了Mercer条件的函数,都可以作为核函数。核函数的基本作用就是接受两个低维空间里的向量,能够计算出经过某个变换后在高维空间里的向量内积值。几个比较常用的核函数,俄,教课书里都列过,我就不敲了(懒!)。

  回想我们上节说的求一个线性分类器,它的形式应该是:

  现在这个就是高维空间里的线性函数(为了区别低维和高维空间里的函数和向量,我改了函数的名字,并且给w和x都加上了 ’),我们就可以用一个低维空间里的函数(再一次的,这个低维空间里的函数就不再是线性的啦)来代替,

  又发现什么了?f(x’) 和g(x)里的α,y,b全都是一样一样的!这就是说,尽管给的问题是线性不可分的,但是我们就硬当它是线性问题来求解,只不过求解过程中,凡是要求内积 的时候就用你选定的核函数来算。这样求出来的α再和你选定的核函数一组合,就得到分类器啦!

明白了以上这些,会自然的问接下来两个问题:

  1. 既然有很多的核函数,针对具体问题该怎么选择?

  2. 如果使用核函数向高维空间映射后,问题仍然是线性不可分的,那怎么办?

  第一个问题现在就可以回答你:对核函数的选择,现在还缺乏指导原则!各种实验的观察结果(不光是文本分类)的确表明,某些问题用某些核函数效果很 好,用另一些就很差,但是一般来讲,径向基核函数是不会出太大偏差的一种,首选。

  对第二个问题的解决则引出了我们下一节的主题:松弛变量。

  核函数有很多种,如线性核、多项式核、Sigmoid 核和 RBF(Radial Basis function)核。本文选定 RBF 核为 SVM 的核函数(RBF 核K(x, y) = exp(-γ || x -y ||的平方),γ > 0)。因为RBF 核可以将样本映射到一个更高维的空间,可以处理当类标签(Class Labels)和特征之间的关系是非线性时的样例。Keerthi 等证明了一个有惩罚参数C 的线性核同有参数(C,γ )(其中C 为惩罚因子,γ 为核参数)的 RBF 核具有相同的性能。对某些参数,Sigmoid核同 RBF 核具有相似的性能[26]。另外,RBF 核与多项式核相比具有参数少的优点。因为参数的个数直接影响到模型选择的复杂性。非常重要的一点是0< Kij ≤1与多项式核相反,核值可能趋向无限(γxi xj + r >1)或者0 < γxi xj + r <1,跨度非常大。而且,必须注意的是Sigmoid 核在某些参数下是不正确的(例如,没有两个向量的内积)。

  用交叉验证找到最好的参数 C 和γ 。使用 RBF 核时,要考虑两个参数 C 和γ 。因为参数的选择并没有一定的先验知识,必须做某种类型的模型选择(参数搜索)。目的是确定好的(C,γ)使得分类器能正确的预测未知数据(即测试集数 据),有较高的分类精确率。值得注意的是得到高的训练正确率即是分类器预测类标签已知的训练数据的正确率)不能保证在测试集上具有高的预测精度。因此,通 常采用交叉验证方法提高预测精度。k 折交叉验证(k-fold cross validation)

浅谈RBF函数的更多相关文章

  1. 浅谈javascript函数节流

    浅谈javascript函数节流 什么是函数节流? 函数节流简单的来说就是不想让该函数在很短的时间内连续被调用,比如我们最常见的是窗口缩放的时候,经常会执行一些其他的操作函数,比如发一个ajax请求等 ...

  2. 开发技术--浅谈Python函数

    开发|浅谈Python函数 函数在实际使用中有很多不一样的小九九,我将从最基础的函数内容,延伸出函数的高级用法.此文非科普片~~ 前言 目前所有的文章思想格式都是:知识+情感. 知识:对于所有的知识点 ...

  3. [转载]浅谈JavaScript函数重载

     原文地址:浅谈JavaScript函数重载 作者:ChessZhang 上个星期四下午,接到了网易的视频面试(前端实习生第二轮技术面试).面了一个多小时,自我感觉面试得很糟糕的,因为问到的很多问题都 ...

  4. 浅谈箭头函数和setTimeout中的this

    箭头函数会改变this的指向,这个大家看文档都看到过,可是有没有具体理解呢?我发现自己应该可能大概是......emmmm,然后我整理了一遍,加强一下概念吧顺带再讲一下setTimeout这个函数改写 ...

  5. [转]浅谈javascript函数劫持

    转自:Ph4nt0m Security Team 这么多年了,现在学习依然还是有很多收货,向前辈致敬.转载一方面是自己存档一份,另一方面是让更多喜欢安全的人一同学习. ================ ...

  6. 浅谈setTimeout函数和setInterval函数

    前几天学了js,看到了两个非常有趣的函数,他们分别是setTimeout函数和setInterval函数,这两个函数能使网页呈现非常一些网页中比较常见的效果,比如说图片轮播,等一些非常好玩的效果.下面 ...

  7. 【python】浅谈enumerate 函数

    enumerate 函数用于遍历序列中的元素以及它们的坐标: >>> for i,j in enumerate(('a','b','c')):  print i,j 0 a 1 b ...

  8. 浅谈Oracle函数返回Table集合

    在调用Oracle函数时为了让PL/SQL 函数返回数据的多个行,必须通过返回一个 REF CURSOR 或一个数据集合来完成.REF CURSOR 的这种情况局限于可以从查询中选择的数据,而整个集合 ...

  9. 浅谈JavaSccript函数与对象

    函数 解剖函数 function One(leve1 , leve2){ //code return leve1+leve2 } 注释: 形参不需要加上类型: return语句为可选,没有return ...

随机推荐

  1. MVC 自定义HtmlHelper帮助类型之分页

    方法一: 在项目中增加App_Code文件夹,新增一个MyHtmlper.cshtml视图文件 写入代码: @helper Pagger(int pageIndex, int pageCount) { ...

  2. 给 ecplise 配置struts2配置环境

    下面介绍在Eclipse中配置Struts2的过程: 一.下载Struts2,因为Struts2是开源的,百度或者google一下就可以找到下载地址.我下载的是struts-2.3.1.2版本 的,解 ...

  3. 【2016-09-27-DP小练】

    得分250..我真是个250... 犯了一些很搞笑的错.. f[i][j][k]表示第i个苹果,现在在j这个位置,还能用k次转移. 用i去更新i+1. 时间复杂度1000*2*30: 转移方程有个地方 ...

  4. 【SPOJ-QTREE】树链剖分

    树链剖分学习 https://blog.csdn.net/u013368721/article/details/39734871 https://www.cnblogs.com/George1994/ ...

  5. swift中_的用法,忽略默认参数名。

    swift中默认参数名除了第一个之外,其他的默认是不忽略的,但是如果在参数的名字前面加上_,就可以忽略这个参数名了,虽然有些麻烦,但是这种定义也挺好,而且不想知道名字或者不想让别人知道名字的或者不用让 ...

  6. bzoj 1009 DP+矩阵加速

    我们用DP来解决这个问题 W[I,J]表示准考证的第I位,和不吉利的数匹配到了第J位的方案数,这个状态的表示也可以看成 当前到第I位了,准考证的后J位是不吉利的数的前J位,的方案数 那么我们最后的an ...

  7. python3 匿名函数,map/reduce/filter等函数结合应用

    匿名函数就是不需要显式的指定函数 # 平方函数 def func1(x): return x**2 print(func1) # 平方函数匿名函数写法 func2=lambda x:x**2 prin ...

  8. Golang使用amqp发送消息

    1.为什么使用信道(channel)而不使用TCP连接发送AMQP命令? 对操作系统来说频繁的建立和销毁TCP连接开销非常昂贵,而操作系统每秒建立的连接是有上限的,性能瓶颈不可避免,而只建立一条TCP ...

  9. niceScroll在ie11和edge浏览器上面滚动时抖动问题

    niceScroll 是一个很好的jquery插件,相信很多人都用过,我们项目中使用的是3.7.6版本的,一般我们在开发的时候都是使用的火狐或者是谷歌浏览器,使用 niceScroll 没有什么问题, ...

  10. OpenCV——Mat、CvMat、IplImage类型浅析【转】

    OpenCV中常见的与图像操作有关的数据容器有Mat,cvMat和IplImage. 一.Mat类型:矩阵类型,Matrix. 在openCV中,Mat是一个多维的密集数据数组.可以用来处理向量和矩阵 ...