【BZOJ2227】【ZJOI2011】看电影 [组合数][质因数分解]

看电影

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Description

　　到了难得的假期，小白班上组织大家去看电影。但由于假期里看电影的人太多，很难做到让全班看上同一场电影，最后大家在一个偏僻的小胡同里找到了一家电影院。但这家电影院分配座位的方式很特殊，具体方式如下： 1. 电影院的座位共有K个，并被标号为1…K，每个人买完票后会被随机指定一个座位，具体来说是从1…K中等可能的随机选取一个正整数，设其为L。 2. 如果编号L的座位是空位，则这个座位就分配给此人，否则将L加一，继续前面的步骤。 3. 如果在第二步中不存在编号L的座位，则该人只能站着看电影，即所谓的站票。小白班上共有N人（包括小白自己），作为数学爱好者，小白想知道全班都能够有座位的概率是多少。

Input

　　输入文件第一行有且只有一个正整数T，表示测试数据的组数。 第2～T+1行，每行两个正整数N,K，用单个空格隔开，其含义同题目描述。

Output

　　输出文件共包含T行。第i行应包含两个用空格隔开的整数A,B，表示输入文件中的第i组数据的答案为A/B。（注意，这里要求将答案化为既约分数）

Sample Input

　　3
　　1 1
　　2 1
　　2 2

Sample Output

　　1 1
　　0 1
　　3 4

HINT

　　对于100%的数据 T<=50,N,K<=200

Main idea

　　有n个人，k个位置，询问按照以下坐法使得所有人都有位置坐的概率是多少。（坐法：每个人随机一个位置，如果这个位置有人那一直就往后坐，如果后面都有人了则不可行）

Source

　　运用组合数学，首先我们知道n个人k个位置的总方案数是k^n，然后我们考虑一下怎么求出可行的方案，发现直接做的话无解与有解的两个情况不好考虑，怎么办呢？

　　我们发现可以考虑一下多加一个空位置使其构成一个环，那么这时候每个位置都必定是有解的，方案数就是(k+1)^n。再考虑如何删掉重复的情况，由于我们加入了一个位置，那么除去经过这个位置的情况显然是方案数/(k+1)，那么现在方案数就是(k+1)^n/(k+1)，然后乘上有几个空位置即可。最后答案就是：( (k+1)^n/(k+1)*(k+1-n) ) / (k^n)。

　　我们发现这个现在求出来的方案数比较大，但是又看见了n,k<=200，想到了数字n的质因数和n^k的质因数是一样的（所以这时候质因数肯定都是200以内的质数），所以我们乘的时候直接质因数分解，然后两个数字的质因数去重，最后用一个高精度乘起来输出即可。

Code

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 using namespace std;  

 const int ONE=;

 int T;
 int n,k;
 int prime[ONE],cnt;
 int p[ONE][];
 int record,x;

 struct power
 {
         int num[],len;
         void print()
         {
                 for(int i=len;i>=;i--)
                 printf("%d",num[i]);
         }

         friend power operator *(power a,power b)
         {
             power c;
             c.len=a.len+b.len;
             for(int i=;i<=c.len;i++) c.num[i]=;

             for(int i=;i<=a.len;i++)
             {
                 x=;
                 for(int j=;j<=b.len;j++)
                 {
                     c.num[i+j-]=c.num[i+j-] + x + a.num[i]*b.num[j];
                     x=c.num[i+j-]/;
                     c.num[i+j-]%=;
                 }
                 c.num[i+b.len]=x;
             }

             while(c.len> && !c.num[c.len]) c.len--;
             return c;
         }
 }kd[],pass;

 void dealwith(int x)
 {
         for(int i=;i<=pass.len;i++) pass.num[i]=;
         pass.len=;
         while(x)
         {
             pass.num[++pass.len]=x%;
             x/=;
         }
 }

 int get()
 {
         int res=,Q=;char c;
         while( (c=getchar())< || c> )
         if(c=='-')Q=-;
         res=c-;
         while( (c=getchar())>= && c<= )
         res=res*+c-;
         return res*Q;
 }         

 int PD(int x)
 {
         for(int i=;i<x;i++)
         if(x%i==) return ;
         return ;
 }

 int Chai(int x,int PD)
 {
         if(x==) return x;
         for(int i=;i<=cnt;i++)
         {
             if(!(x%prime[i]))
             {
                 p[prime[i]][PD]++;
                 x=Chai(x/prime[i],PD);
                 break;
             }
         }
         return x;
 }

 int Deal(int x,int m,int PD)
 {
         record=;
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
             record*=x;
             record=Chai(record,PD);
         }

         if(PD==)
         {
             record*=(x-m-);
             record=Chai(record,PD);
         }

         p[record][PD]++;
 }

 int main()
 {
         T=get();
         for(int i=;i<=;i++)
         if(PD(i)) prime[++cnt]=i;

         while(T--)
         {
             n=get();    k=get();
             if(n>k)
             {
                 printf("0 1\n");
                 continue;
             }

             memset(p,,sizeof(p));
             Deal(k+,n-,);    Deal(k,n,);
             for(int i=;i<=;i++)
             {
                 int x=min(p[i][],p[i][]);
                 p[i][]-=x; p[i][]-=x;
             }

             kd[].len=kd[].len=;
             kd[].num[]=kd[].num[]=;
             for(int i=;i<=cnt;i++)
             {
                 dealwith(prime[i]);
                 for(int t=;t<=;t++)
                 for(int j=;j<=p[prime[i]][t];j++)
                 kd[t]=kd[t]*pass;
             }

             kd[].print(); printf(" ");
             kd[].print(); printf("\n");

         }
 }