高斯混合和EM算法

首先介绍高斯混合模型：

高斯混合模型是指具有以下形式的概率分布模型：

一般其他分布的混合模型用相应的概率密度代替（1）式中的高斯分布密度即可。

---

给定训练集，我们希望构建该数据联合分布

这里，其中是概率，并且，用表示可能的取值。

因此，我们构建的模型就是假设是由生成，而是从中随机选择出来的，那么就服从个依赖于的高斯分布中的一个。这就是一个高斯混合模型

是潜在随机变量，即它是隐藏的或者观察不到的，这将使得估计问题变得棘手。

上面公式太多，作一个总结，总体意思是关于的条件分布符合高斯分布（即正态分布），这个是潜在变量，它的值未知，但是服从多项式分布，于是关于的条件分布就是高斯混合模型，而是一个潜在变量，值不确定，进而导致高斯混合模型的概率估计也变得棘手。

可以看出，我们构建的高斯混合模型参数有和，为了估计出这些参数，写出参数的似然函数：

变量意味着每一个来自于个高斯分布中的哪一个，如果我们知道变量的值，最大化似然函数问题将变得容易，似然函数将会变成如下形式：

那么参数的最大似然估计可以计算出：

可以看出，当已知的时候，最大似然函数的的估计与前面讨论过的高斯判别分析模型（关于高斯判别模型参见生成式学习算法）几乎一样，除了这里替代了高斯判别模型中类别标签的角色。

但是在这个问题中是未知的，该怎么办？就得运用EM算法。在应用到我们的这个问题中，EM算法分两步，在E步骤中，算法试图猜测出的值，在M步骤中，根据E步骤猜测的值更新参数。需要注意的是在M步骤中假定E步骤中的猜测是正确的，算法流程如下：

E-step: 对于每一个，令：

　　

M-step: 更新参数：

　　

重复上面两步直至收敛（参数不再发生明显变化）

在E-step中计算关于的后验概率时，参数和用的都是当前的值，第一步时可以随机初始化，用贝叶斯公式，我们可以得到：

分子上的是由均值为，方差为的高斯分布在处的概率密度给出，由参数

给出. 在E-step中对的猜测只是猜测它是某个值得概率，被称作“软猜测”，与之对应的“硬猜测”就是一个最好的猜测，即不是0就是1.

和上面我们在推导已知时，参数估计的公式相比，EM算法中的参数更新仅仅是用代替了.

EM算法和k-means算法（参考我的博文K-means聚类算法原理和C++实现）很类似，除了k-means是一个“硬” 类别分配（为每个样本选择一个确定的类别），而这里是以概率的“软”分配（就是取某个值的概率）。同k-means一样，EM算法也容易陷入局部最优，所以多次运行，每次都将参数初始化为不同的值将会是一个很好的解决办法。

EM算法就是不断重复猜测的值，但是到底是如何进行的呢，如何保证收敛性呢，在下一篇博文将继续讨论，从而使得EM算法能够更加容易应用到各种存在潜在变量的参数估计问题中，而且将讨论如何保证算法收敛。