很不错的一道题,这里提供两种方法:

方法1:递推;

易知当n为奇数时,f[n]=f[n-1] (n-1的所有方案前面添1,并且没有新的方案);

重点是n为偶数的时候,则拆分方案中,要么有偶数个1,要么有没1;

当有偶数个1时,就相当于在n-1(奇数)的方案中添一个1,(每个奇数分解方案一定有奇数个1);

当没1时,那么参加分解每个数都是偶数,所以方案数=f[n/2];

根据加法原理可知f[n]=f[n-1]+f[n/2];

方法2:这题也可以转化为完全背包来做:

因为只能用2^k来分解,且不考虑顺序:

容易想到就是k个物品,每个物品重量是2^k,来填一个容积为n的背包;

所以,k=[logn]; 时间复杂度为O(nlogn); (完全背包问题见背包九讲)

虽然没有上一种方法时间复杂度优,但是体现了就看似是数学问题向背包问题转化的思路,(参见noip2012pj第三题)

 const ff=;
var f:array[..] of int64;
d:array[..] of longint;
i,j,n,k:longint;
begin
readln(n);
k:=trunc(ln(n)/ln());
d[]:=;
for i:= to k do
d[i]:=d[i-]*;
f[]:=;
for i:= to k do
begin
for j:=d[i] to n do
begin
f[j]:=(f[j-d[i]]+f[j]);
if f[j]>ff then f[j]:=f[j]-ff;
end;
end;
writeln(f[n] mod ff);
end.

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