让PETSc跑得再快一些

最近做了一个使用PETSc来求解线性方程组(Ax=b)的项目，把其中遇到的一些坑和解决方法记录下来。本文不介绍PETSc如何入门，而是给出一些能让PETSc运行得更快的编程细节。开始我只是简单地修改PETSc给出的范例，替换掉范例中的A和b，能正确运行但运行速度超级慢。后来进行了本文这些细节修改，性能达标，顺利交差了。具体的修改细节如下：

1. PETSc分为debug版本和nodebug版本。如果安装时不加--with-debugging=no选项，安装的就是debug版本。官方文档说nodebug版本比debug版本快2-3倍，我们的项目也确实快了2倍多。

2. 有些非线性问题需要多次求解线性方程组Ax=b，但每次求解方程的系数矩阵A都具有相同的非零结构只是元素的值不同，只在第一次求解方程时创建对象A，b和x，其他次求解时不再创建，仅仅修改对象的值。

3. 在创建矩阵A时，预估(可以多估)每行的非零元个数，使用MatMPIAIJSetPreallocation()分配好存储空间，避免后面设置矩阵元素时开辟新的存储空间。

4. 在设置矩阵A和右端项b的值时，每个进程只设置存储在自己本地的元素，这样可以避免数据的移动。此外，对矩阵A使用MatSetValuesBlocked()逐行进行设置，而不是逐个元素设置。

5. PETSc默认的ksp方法是GMRES，如果矩阵有特殊性质(从物理问题得到的系数矩阵一般都有特殊性质)，选择更高效的方法。我们的矩阵是对称正定的，因此使用了CG方法。

6.使用-ksp_monitor查看残差的变化情况，从而设置一个合适的残差上界，避免多余的迭代。

其实这些使用细节官方文档都有，但不是每个人都有时间把272页的文档从头到尾仔细的读一遍，希望这篇博客能帮不熟悉PETSc的同学们节约一些时间。

初次发文，请多指教！