CodeForces 794 G.Replace All

解题思路

首先如果字符串 $A, B$ 没有匹配，那么二元组 $(S, T)$ 合法的一个必要条件是存在正整数对 $(x,y)$，使得 $xS=yT$，其中 $xS$ 是将字符串 $S$ 复制 $x$ 遍后得到的字符串，$yT$ 是将字符串 $T$ 复制 $T$ 遍后得到的字符串。由于 $A,B$ 直接匹配的情况比较容易讨论，下面没有特殊说明，都是 $A,B$ 没有直接匹配的情况。

这个条件的实际意义是通过这个二元组 $(S,T)$ 转化后，能将 $x$ 个 $'a'$ 组成的子串与 $y$ 个 $'b'$ 组成的子串通配，必要性可以根据这个感性理解，下面来证明满足这个条件的二元组的一些性质。

对于字符串 $C=xS=yT$ ，显然存在周期 $x$ 和周期 $y$ ，根据周期定理 $\gcd(x,y)$ 也是 $C$ 的一个周期，其也是 $S,T$ 的一个周期，我们令 $C[1:\gcd(x,y)]=D$ ，那么 $S=\dfrac{y}{\gcd(x,y)}D,T=\dfrac{x}{\gcd(x,y)}D$ 。用 $+$ 表示字符串的拼接，可以得到 $S+T=T+S=\dfrac{xy}{\gcd(x,y)}D$ 。也就是用这个二元组转化后，任意两个相邻的字符 $'a','b'$ 交换后得到的字符串不变，最终的字符串只与字符 $'a','b'$ 的数量用关。

假设将 $'?'$ 填好之后，令 $\Delta a$ 表示 $A$ 中 $'a'$ 的数量与 $B$ 中 $'a'$ 的数量之差，$\Delta b$ 表示 $A$ 中 $'b'$ 的数量与 $B$ 中 $'b'$ 的数量之差，此时如果 $\Delta a \Delta b\geq0$ 且 $\Delta a,\Delta b$ 不同时等于 $0$ ，那么不存在满足条件的合法二元组。

如果 $\Delta a=0,\Delta b=0$ ，那么任意一个满足条件的合法二元组都可以，其中一个 $\gcd(x,y)=g$ 的合法二元组的方案数就是 $2^g$ (考虑字符串 $D$ 的每一位是怎么填的即可)，那么只需要容斥出所有 $\gcd(x,y)=i$ 的对数即可。

否则，满足条件的 $x, y$ 的比值是 $\dfrac{|\Delta a|}{|\Delta b|}$ ，令 $g=\gcd(\Delta a,\Delta b)$ ，枚举 $D$ 的长度，方案数就是

\[2^{\dfrac{n}{\dfrac{\max(|\Delta a|,|\Delta b|)}{g}}+1}-2
\]

现在考虑 $'?'$ 的影响，令 $cntA$ 为 $A$ 中 $'?'$ 个数，$cntB$ 为 $B$ 中 $'?'$ 个数，那么填 $'?'$ 的影响就是让 $\Delta a$ 加上一个整数 $d$，$\Delta b$ 加上 $cntA-cntB-d$，这样选的方案数是 ${cntA+cntB}\choose{cntB+d}$ ，推导可以把方案数的和式列出来然后展开，当然你要做卷积也是可以的。(模数 $10^9+7$) ，然后只需要枚举一下 $'?'$ 贡献的 $d$ 的值这一部分就算出来了。

注意前面提到的都是 $A,B$ 没有直接匹配的情况，对于 $A,B$ 在填完 $'?'$ 之后能直接匹配的情况，所有的二元组都是合法的，只需要把之前没算的部分在这里算上即可，总的复杂度是 $\mathcal O(n\log n)$ 。

code

/*program by mangoyang*/

#include <bits/stdc++.h>

#define inf (0x7f7f7f7f)

#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

typedef long long ll;

using namespace std;

template <class T>

inline void read(T &x){

	int ch = 0, f = 0; x = 0;

	for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;

	for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;

	if(f) x = -x;

}

const int N = 1000005, mod = 1e9 + 7;

char s[N], t[N];

int inv[N], js[N], pw[N], f[N], cnts, cntt, da, db, lens, lent, n, ans, total;

inline int Pow(int a, int b){

	int ans = 1;

	for(; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)

		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod;

	return ans;

}

inline int C(int x, int y){

	return 1ll * js[x] * inv[y] % mod * inv[x-y] % mod;

}

int main(){

	scanf("%s", s + 1), scanf("%s", t + 1), read(n);

	lens = strlen(s + 1), lent = strlen(t + 1);

	for(int i = 1; i <= lens; i++){

		if(s[i] == 'A') da++; if(s[i] == 'B') db++; if(s[i] == '?') cnts++;

	}

	for(int i = 1; i <= lent; i++){

		if(t[i] == 'A') da--; if(t[i] == 'B') db--; if(t[i] == '?') cntt++;

	}

	inv[0] = js[0] = pw[0] = 1;

	for(int i = 1; i <= n + 1; i++) pw[i] = 2ll * pw[i-1] % mod;

	for(int i = 1; i <= lens + lent; i++)

		js[i] = 1ll * js[i-1] * i % mod, inv[i] = Pow(js[i], mod - 2);

	for(int i = n; i; i--){

		f[i] = 1ll * (n / i) * (n / i) % mod;

		for(int j = i + i; j <= n; j += i) (f[i] += mod - f[j]) %= mod;

		total = (total + 1ll * f[i] * pw[i] % mod) % mod;

	}

	for(int d = -cntt; d <= cnts; d++){

		int A = da + d, B = db + cnts - cntt - d, x = C(cnts + cntt, cntt + d);

		if(!A && !B) (ans += 1ll * x * total % mod) %= mod;

		if(1ll * A * B >= 0) continue;

		int g = __gcd(abs(A), abs(B));

		A = abs(A) / g, B = abs(B) / g;

		(ans += (1ll * x * (pw[n/max(A,B)+1] - 2) + mod) % mod) %= mod;

	}

	if(lens == lent){

		int flag = 1, res = 1;

		for(int i = 1; i <= lens; i++){

			if(s[i] != '?' && t[i] != '?' && s[i] != t[i]) flag = 0;

			if(s[i] == '?' && t[i] == '?') res = 2ll * res % mod;

		}

		if(!flag) return cout << ans << endl, 0;

		(ans += 1ll * res * (1ll * (pw[n+1] - 2) * (pw[n+1] - 2) % mod - total) % mod) %= mod;

		ans = (ans % mod + mod) % mod;

	}

	cout << ans << endl;

	return 0;

}