[BZOJ4825][HNOI2017]单旋(线段树+Splay)

4825: [Hnoi2017]单旋

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Description

H 国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据

结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了 H 国的必修技能。有一天，邪恶的“卡”带着

他的邪恶的“常数”来企图毁灭 H 国。“卡”给 H 国的人洗脑说，splay 如果写成单旋的，将会更快。“卡”称

“单旋 splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理，但还是有 H 国的人相信了，小 H 就是其中之一，spaly 马

上成为他的信仰。 而 H 国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由 m 个操作构成，

他知道这样的数据肯定打垮 spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作所需要的实际代价

的任务就交给你啦。

 

数据中的操作分为五种：

 

1. 插入操作：向当前非空 spaly 中插入一个关键码为 key 的新孤立节点。插入方法为，先让 key 和根比较，如果 

key 比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，key 比当前子树根 x 小，而 x 的左子

树为空，那就让 key 成为 x 的左孩子； 或者 key 比当前子树根 x 大，而 x 的右子树为空，那就让 key 成为 

x 的右孩子。该操作的代价为：插入后，key 的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树

。（各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对 spaly 的描述）。

2. 单旋最小值：将 spaly 中关键码最小的元素 xmin 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmin 的深度。

（对于单旋操作的解释见末尾对 spaly 的描述）。

3. 单旋最大值：将 spaly 中关键码最大的元素 xmax 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmax 的深度。

4. 单旋删除最小值：先执行 2 号操作,然后把根删除。由于 2 号操作之后,根没有左子树,所以直接切断根和右子

树的联系即可（具体见样例解释）。 操作代价同 2 号操 作。

5. 单旋删除最大值：先执行 3 号操作,然后把根删除。 操作代价同 3 号操作。

 

对于不是 H 国的人，你可能需要了解一些 spaly 的知识，才能完成国王的任务：

 

a. spaly 是一棵二叉树，满足对于任意一个节点 x，它如果有左孩子 lx，那么 lx 的关键码小于 x 的关键码。

如果有右孩子 rx，那么 rx 的关键码大于 x 的关键码。

b. 一个节点在 spaly 的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。

c. 单旋操作是对于一棵树上的节点 x 来说的。一开始,设 f 为 x 在树上的父亲。如果 x 为 f 的左孩子，那么

执行 zig(x) 操作（如上图中，左边的树经过 zig(x) 变为了右边的树），否则执行 zag(x) 操作（在上图中，将

右边的树经过 zag(f) 就变成了左边的树）。每当执 行一次 zig(x) 或者 zag(x)，x 的深度减小 1，如此反复，

直到 x 为根。总之，单旋 x 就是通过反复执行 zig 和 zag 将 x 变为根。

Input

第一行单独一个正整数 m。

接下来 m 行，每行描述一个操作：首先是一个操作编号 c∈[1,5]，即问题描述中给出的五种操作中的编号，若 c

 = 1，则再输入一个非负整数 key，表示新插入节点的关键码。

1≤m≤10^5,1≤key≤10^9

所有出现的关键码互不相同。任何一个非插入操作，一定保证树非空。在未执行任何操作之前，树为空

Output

输出共 m 行，每行一个整数，第 i 行对应第 i 个输入的操作的代价。

Sample Input

5
1 2
1 1
1 3
4
5

Sample Output

1
2
2
2
2

HINT

 

Source

代码用时：2h

感觉代码难度很低啊为什么我还是花了很长时间。。

思维比较简单，只要把三种操作想清楚了就差不多了。

比较自然的想法应该是Splay，但线段树实现复杂度和常数都更优。

线段树做法网上好像只找到一个（而且没有标记永久化的代码并不是很优美常数也稍大）

这里有一个自认为比较优的做法。

（本题线段树做法的思想还是有点巧妙的，利用了题目只单旋最值的设定）

12140KB，1108ms

 #include<set>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 using namespace std;

 template<typename T>inline void rd(T &x){
     int t; char ch;
     for (t=; !isdigit(ch=getchar()); t=(ch=='-'));
     for (x=ch-''; isdigit(ch=getchar()); x=x*+ch-'');
     if (t) x=-x;
 }

 const int N=;
 int m,tot,d,rt,D[N<<],rs[N],ls[N],fa[N],a[N],b[N],op[N][];
 set<int>S;
 set<int>::iterator it,sub,pro;

 void mdf(int x,int L,int R,int l,int r,int k){
     if (L==l && R==r){ D[x]+=k; return; }
     int mid=(L+R)>>;
     if (r<=mid) mdf(x<<,L,mid,l,r,k);
     else if (l>mid) mdf((x<<)|,mid+,R,l,r,k);
         else mdf(x<<,L,mid,l,mid,k),mdf((x<<)|,mid+,R,mid+,r,k);
 }

 int que(int x,int L,int R,int k){
     if (L==R) return D[x];
     int mid=(L+R)>>;
     if (k<=mid) return D[x]+que(x<<,L,mid,k);
         else return D[x]+que((x<<)|,mid+,R,k);
 }

 int main(){
     freopen("bzoj4825.in","r",stdin);
     freopen("bzoj4825.out","w",stdout);
     rd(m);
     rep(i,,m){
         rd(op[i][]); if (op[i][]==) rd(op[i][]);
         if (op[i][]==) b[++tot]=op[i][];
     }
     sort(b+,b+tot+); tot=unique(b+,b+tot+)-b-;
    rep(i,,m) if (op[i][]==) a[i]=lower_bound(b+,b+tot+,op[i][])-b;
     rep(i,,m){
         if (op[i][]==){
             if (S.empty()) rt=a[i],d=;
             else{
                 it=S.upper_bound(a[i]),sub=it;
                 if (sub==S.begin()) ls[*sub]=a[i],fa[a[i]]=*sub,d=que(,,tot,*sub)+;
                 else{
                     pro=--it;
                     if (sub==S.end()) rs[*pro]=a[i],fa[a[i]]=*pro,d=que(,,tot,*pro)+;
                     else if (que(,,tot,*sub)<que(,,tot,*pro))
                      rs[*pro]=a[i],fa[a[i]]=*pro,d=que(,,tot,*pro)+;
                         else ls[*sub]=a[i],fa[a[i]]=*sub,d=que(,,tot,*sub)+;
                 }
             }
             printf("%d\n",d); mdf(,,tot,a[i],a[i],d-que(,,tot,a[i]));
          S.insert(a[i]);
         }
         if (op[i][]== || op[i][]==){
             it=S.begin(); d=que(,,tot,*it); printf("%d\n",d);
             if ((*it)!=rt){
                 mdf(,,tot,,tot,); mdf(,,tot,*it,*it,-d);
                 int t=fa[*it]; ls[t]=fa[*it]=;
                 if (rs[*it]){
                     mdf(,,tot,(*it)+,t-,-);
                fa[rs[*it]]=t; ls[t]=rs[*it];
                 }
             rs[*it]=rt; fa[rt]=*it; rt=*it;
             }
             if (op[i][]==) rt=rs[*it],rs[*it]=fa[rt]=,mdf(,,tot,,tot,-),S.erase(*it);
         }
         if (op[i][]== || op[i][]==){
             it=S.end(); it--; d=que(,,tot,*it); printf("%d\n",d);
             if ((*it)!=rt){
                 mdf(,,tot,,tot,); mdf(,,tot,*it,*it,-d);
                 int t=fa[*it]; rs[t]=fa[*it]=;
                 if (ls[*it]){
                     mdf(,,tot,t+,(*it)-,-);
                fa[ls[*it]]=t; rs[t]=ls[*it];
                 }
             ls[*it]=rt; fa[rt]=*it; rt=*it;
             }
             if (op[i][]==) rt=ls[*it],ls[*it]=fa[rt]=,mdf(,,tot,,tot,-),S.erase(*it);
         }
     }
     return ;
 }

惊了，splay跑的比线段树还快。

5752KB，900ms

代码用时：1h

一开始想自己写出来，思路并不复杂但代码很繁琐（模板占了大部分但想敲对并不容易）。

看了网上的代码抄了一份下来竟然1A，可能是我抄代码的经历中最顺利的一次吧。

但抄来的代码终究不是自己的，要勇于写这种代码稍长的题目，后面还会有比这长的多的题！

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define ls c[x][0]
 #define rs c[x][1]
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 using namespace std;

 template<typename T>inline void rd(T &x){
    int t; char ch;
    for (t=; !isdigit(ch=getchar()); t=(ch=='-'));
    for (x=ch-''; isdigit(ch=getchar()); x=x*+ch-'');
    if (t) x=-x;
 }

 const int inf=,N=;
 int n,cnt,rt,Q,fa[N],v[N],sz[N],c[N][],s[N],dep[N],mn[N];

 void push(int x){
    v[ls]+=v[x]; dep[ls]+=v[x]; mn[ls]+=v[x];
    v[rs]+=v[x]; dep[rs]+=v[x]; mn[rs]+=v[x];
    v[x]=;
 }

 void upd(int x){
    sz[x]=sz[ls]+sz[rs]+; mn[x]=dep[x];
    if (ls) mn[x]=min(mn[x],mn[ls]);
    if (rs) mn[x]=min(mn[x],mn[rs]);
 }

 void rot(int &rt,int x){
    int y=fa[x],z=fa[y],w=(c[y][]==x);
    if (y==rt) rt=x; else c[z][c[z][]==y]=x;
    fa[x]=z; fa[y]=x; fa[c[x][w^]]=y;
    c[y][w]=c[x][w^]; c[x][w^]=y; upd(y);
 }

 void splay(int &rt,int x){
    while (x!=rt) {
       int y=fa[x],z=fa[y];
       if (y!=rt){
          if ((c[z][]==y)^(c[y][]==x)) rot(rt,x); else rot(rt,y);
       }
       rot(rt,x);
    }
    upd(x);
 }

 void ins(int &x,int S,int d,int lst){
    if (!x){
       x=++cnt, s[cnt]=S; dep[cnt]=mn[cnt]=d;
       sz[cnt]=; fa[cnt]=lst; return;
    }
    ins(c[x][S>s[x]],S,d,x); upd(x);
 }

 int getpre(int x,int S){
    if (!x) return ;
    if (v[x]) push(x);
    if (s[x]>S) return getpre(c[x][],S);
    Q=getpre(c[x][],S);
    if (Q) return Q; else return x;
 }

 int getnxt(int x,int S){
    if (!x) return ;
    if (v[x]) push(x);
    if (s[x]<S) return getnxt(rs,S);
    Q=getnxt(ls,S);
    if (Q) return Q; else return x;
 }

 int find(int x,int k){
    if (v[x]) push(x);
    if (sz[ls]+==k) return x;
    if (sz[ls]+<k) return find(rs,k-sz[ls]-);
    return find(ls,k);
 }

 int getl(int x,int d){
    if (!x) return ;
    if (v[x]) push(x);
    if (min(mn[ls],dep[x])>=d) return getl(rs,d)+sz[ls]+;
       else return getl(ls,d);
 }

 int getr(int x,int d){
    if (!x) return ;
    if (v[x]) push(x);
    if (min(mn[rs],dep[x])>=d) return getr(ls,d)+sz[rs]+;
       else return getr(rs,d);
 }

 int split(int l,int r){
    int t1=find(rt,l-),t2=find(rt,r+);
    splay(rt,t1); splay(c[rt][],t2); return c[c[rt][]][];
 }

 void mdf(int l,int r,int ad){
    int y=split(l,r); v[y]+=ad; mn[y]+=ad; dep[y]+=ad;
 }

 void change(int x,int S){
    if (v[x]) push(x);
    if (s[x]==S) dep[x]=; else change(c[x][S>s[x]],S);
    upd(x);
 }

 int main(){
    freopen("bzoj4825.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4825.out","w",stdout);
    rd(n); ins(rt,-inf,inf,); ins(rt,inf,inf,); mn[]=inf;
    rep(i,,n){
       int op,x; rd(op);
       if (op==){
          rd(x); int t1=getpre(rt,x),t2=getnxt(rt,x);
          int D=max(t1> ? dep[t1] : ,t2> ? dep[t2] : )+;
          ins(rt,x,D,); splay(rt,cnt); printf("%d\n",D);
       }
       if (!(op&)){
          int x=find(rt,),y=min(getl(rt,dep[x]),sz[rt]-)-;
          printf("%d\n",dep[x]); mdf(,sz[rt]-,);
          if (y>) mdf(,y+,-);
          change(rt,s[x]);
       }
       if ((op&)&&(op>)){
          int x=find(rt,sz[rt]-),y=min(getr(rt,dep[x]),sz[rt]-)-;
          printf("%d\n",dep[x]); mdf(,sz[rt]-,);
          if (y>) mdf(sz[rt]-y,sz[rt]-,-);
          change(rt,s[x]);
       }
       if (op>=){
          if (op==) splay(rt,find(rt,));
                else splay(rt,find(rt,sz[rt]-));
          int l=(op==),r=l^,y=c[rt][l];
          c[y][r]=c[rt][r]; fa[y]=; fa[c[rt][r]]=y; rt=y;
          v[rt]-=; upd(rt);
       }
    }
    return ;
 }