[Luogu4233]射命丸文的笔记
description
对于\(x\in[1,n]\)求\(x\)点强联通竞赛图中的哈密顿回路的期望个数膜\(998244353\)。
\(n\le10^5\)
sol
首先\(n\)点竞赛图中的哈密顿回路总共有\(\frac{n!2^{\binom n2-n}}{n}\)条。
(本质不同的有\(\frac{n!}{n}\)条,每条都存在于\(2^{\binom n2-n}\)个图内)
所以问题在于如何求\(n\)点强联通竞赛图的个数。
考虑一个\(O(n^2)\)的\(dp\),设\(f_i\)表示\(i\)个点的强联通竞赛图个数。
同时设\(g_i\)表示\(i\)个点的竞赛图个数,显然\(g_i=2^{\binom n2}\)。
转移时枚举拓扑序最小的强联通分量的大小。
\]
然后用分治\(FFT\)可以做到两只\(\log\)。
这里讲一种生成函数的做法。
把转移式移项可得:
\]
两边同除以\(i!\):
\]
令:\(F(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f_i}{i!}x^i,G(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{g_i}{i!}x^i,C(x)=\sum_{i=1}^{n}\frac{g_i}{i!}x^i\)
(注意\(G(x)\)和\(C(x)\)的区别)
那么\(F(x)G(x)=C(x)\),所以\(F(x)=\frac{C(x)}{G(x)}\)
多项式求逆即可,复杂度\(O(n\log n)\)。
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 8e5+5;
const int mod = 998244353;
int n,jc[N],jcn[N],f[N],g[N],h[N],rev[N],og[N];
int fastpow(int a,int b){
int res=1;
while (b) {if (b&1) res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
return res;
}
void ntt(int *P,int opt,int len){
int l=0;while((1<<l)<len)++l;--l;
for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
for (int i=0;i<len;++i) if (i<rev[i]) swap(P[i],P[rev[i]]);
for (int i=1;i<len;i<<=1){
int W=fastpow(3,(mod-1)/(i<<1));
if (opt==-1) W=fastpow(W,mod-2);
og[0]=1;for (int j=1;j<i;++j) og[j]=1ll*og[j-1]*W%mod;
for (int p=i<<1,j=0;j<len;j+=p)
for (int k=0;k<i;++k){
int x=P[j+k],y=1ll*og[k]*P[j+k+i]%mod;
P[j+k]=(x+y)%mod,P[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
}
}
if (opt==-1) for (int i=0,Inv=fastpow(len,mod-2);i<len;++i) P[i]=1ll*P[i]*Inv%mod;
}
int A[N],B[N];
void GetInv(int *a,int *b,int len){
if (len==1) {b[0]=fastpow(a[0],mod-2);return;}
GetInv(a,b,len>>1);
for (int i=0;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
ntt(A,1,len<<1);ntt(B,1,len<<1);
for (int i=0;i<(len<<1);++i) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod*B[i]%mod;
ntt(A,-1,len<<1);
for (int i=0;i<len;++i) b[i]=((b[i]+b[i])%mod-A[i]+mod)%mod;
for (int i=0;i<(len<<1);++i) A[i]=B[i]=0;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
jc[0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;
jcn[n]=fastpow(jc[n],mod-2);
for (int i=n;i;--i) jcn[i-1]=1ll*jcn[i]*i%mod;
int len=1;while (len<=(n<<1)) len<<=1;
for (int i=0;i<=n;++i) f[i]=h[i]=1ll*fastpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*jcn[i]%mod;
GetInv(f,g,len);
for (int i=n+1;i<len;++i) f[i]=g[i]=0;h[0]=0;
ntt(g,1,len);ntt(h,1,len);
for (int i=0;i<len;++i) g[i]=1ll*g[i]*h[i]%mod;
ntt(g,-1,len);printf("1\n-1\n");
for (int i=3;i<=n;++i){
g[i]=1ll*g[i]*jc[i]%mod;
int res=1ll*jc[i]*fastpow(2,(1ll*i*(i-1)/2-i)%(mod-1))%mod*fastpow(i,mod-2)%mod;
printf("%d\n",1ll*res*fastpow(g[i],mod-2)%mod);
}
return 0;
}
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