【LA3415 训练指南】保守的老师 【二分图最大独立集，最小割】

题意

Frank是一个思想有些保守的高中老师。有一次，他需要带一些学生出去旅行，但又怕其中一些学生在旅行中萌生爱意。为了降低这种事情发生的概率，他决定确保带出去的任意两个学生至少要满足下面四条中的一条。

1.身高相差大于40厘米

2.性别相同

3.最喜欢的音乐属于不同类型

4.最喜欢的体育比赛相同

你的任务是帮助Frank挑选尽量多的学生，使得任意两个学生至少满足上述条件中的一条。

分析

这个模型叫二分图的最大独立集。既选择尽量多的结点，使得任意两个结点不相邻（既任意一条边的两个端点不会被同时选中）。最大独立集与最小覆盖是互补的，因此答案就是结点总数减去最大匹配数。

建模：将每个人看作一个结点，如果两个人四个条件都不满足，就意味着他们不能同时被选择，连一条无向边。这样，问题就转换为求这个图的最大独立集。因为他们每个人不是男生就是女生，所以这个图是二分图。

按照惯例，我依然是用网络流来做的最大匹配。原因依然是不会KM···等哪天（8012年）我学会来并且心情好可能会来补一下KM的代码。

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 
 using namespace std;
 const int maxn=+;
 const int maxm=+;
 
 const int INF=;
 struct Dinic{
     int head[maxn],Next[maxm],to[maxm],cap[maxm],flow[maxm];
     int sz,n,m,s,t;
     bool vis[maxn];
     int cur[maxn],d[maxn];
     void init(int n){
         this->n=n;
         memset(head,-,sizeof(head));
         this->sz=-;
     }
     void add_edge(int a,int b,int c){
         ++sz;
         to[sz]=b;
         cap[sz]=c;flow[sz]=;
         Next[sz]=head[a];head[a]=sz;
         ++sz;
         to[sz]=a;
         cap[sz]=c;flow[sz]=c;
         Next[sz]=head[b];head[b]=sz;
     }
     bool BFS(){
         memset(vis,,sizeof(vis));
         queue<int>Q;
         vis[s]=;
         d[s]=;
         Q.push(s);
         while(!Q.empty()){
             int u=Q.front();Q.pop();
             for(int i=head[u];i!=-;i=Next[i]){
                 int v=to[i];
                 if(!vis[v]&&cap[i]>flow[i]){
                     vis[v]=;
                     d[v]=d[u]+;
                     Q.push(v);
                 }
             }
         }
         return vis[t];
    }
     int DFS(int x,int a){
         if(x==t||a==)return a;
         int Flow=,f;
         for(int& i=cur[x];i!=-;i=Next[i]){
             int v=to[i];
             if(d[v]==d[x]+&&(f=DFS(v,min(a,cap[i]-flow[i])))>){
                 Flow+=f;
                 flow[i]+=f;
                 flow[i^]-=f;
                 a-=f;
                 if(a==)break;
             }
         }
         return Flow;
     }
     int Maxflow(int s,int t){
         this->s=s,this->t=t;
         int Flow=;
         while(BFS()){
             for(int i=;i<=n;i++)
              cur[i]=head[i];
 
             Flow+=DFS(s,INF);
         }
         return Flow;
     }
 }dinic;
 int T,n;
 int high[maxn];
 char sex[maxn];
 string mus[maxn],phy[maxn];
 int main(){
     scanf("%d",&T);
     for(int t=;t<=T;t++){
         scanf("%d",&n);
         for(int i=;i<=n;i++){
             scanf("%d %c",&high[i],&sex[i]);
             cin>>mus[i]>>phy[i];
         }
         dinic.init(n+);
         for(int i=;i<=n;i++){
             if(sex[i]=='M'){
                 for(int j=;j<=n;j++){
                     if(sex[j]=='F'&&abs(high[i]-high[j])<=&&mus[i]==mus[j]&&phy[i]!=phy[j]){
                             dinic.add_edge(i,j,);
                     }
                 }
             }
         }
         for(int i=;i<=n;i++){
             if(sex[i]=='M')
                 dinic.add_edge(,i,);
         }
         for(int i=;i<=n;i++){
             if(sex[i]=='F')
                 dinic.add_edge(i,n+,);
         }
         int ans=dinic.Maxflow(,n+);
         printf("%d\n",n-ans);
     }
 return ;
 }

其实我觉得这道题不知道这个模型只是考虑最小割的话也能想。去除最少的学生使得剩下的所有学生之间任意两个之间都满足四个条件中的一条。我们在学生之间连的边是这两个学生间只能选一个或者都不选，那个割掉这条边就代表去掉这两个学生中的一个。所以可以求出最小割来以后，用总的人数n减掉最小割。

哇万能的最小割我感觉这样想比背什么模型好多了啊！