【51nod 1245】Binomial Coefficients Revenge

题目大意

C(M,N) = M! / N! / (M - N)! (组合数)。给出M和质数p，求C(M,0), C(M,1)......C(M,M)这M + 1个数中，有多少数不是p的倍数，有多少是p的倍数但不是p^{2的倍数，有多少是p}2的倍数但不是p^3的倍数......。

例如：M = 10, P = 2。C(10,0) -> C(10,10)

分别为：1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1。

P的幂 = 1 2 4 8 16......

1 45 45 1 这4个数只能整除1。

10 210 210 10这4个数能整除2但不能整除4。

252 能整除4但不能整除8。

120 120 这2个数能整除8但不能整除16。

所以输出：4 4 1 2。

分析

根据kummer定理，\(C_{n+m}^{n}\)的含的质数p的幂次等于在p进制下n+m的进位次数。

于是数位dp，设\(f[i][j][0/1]\)表示，做到第i位，进了j次位，当前位是否进位的方案数。

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const int inf=2147483647;
const int mo=1e9+7;
const int N=75;
using namespace std;
int T;
long long n,p,f[N][N][2],m,a[N];
int main()
{
	for(scanf("%d",&T);T--;)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&p);
		memset(f,0,sizeof(f));
		a[0]=0;
		for(long long x=n;x;x/=p) a[++a[0]]=x%p;
		f[1][0][0]=a[1]+1,f[1][1][1]=p-a[1]-1;
		for(int i=1;i<a[0];i++)
			for(int j=0;j<=i;j++)
			{
				f[i+1][j][0]+=(a[i+1]+1)*f[i][j][0]+a[i+1]*f[i][j][1];
				f[i+1][j+1][1]+=(p-a[i+1]-1)*f[i][j][0]+(p-a[i+1])*f[i][j][1];
			}
		for(int i=a[0];i>=0;i--)
			if(f[a[0]][i][0])
			{
				for(int j=0;j<=i;j++) printf("%lld ",f[a[0]][j][0]);
				break;
			}
		putchar('\n');
	}
}