Leetcode题目300.最长上升子序列（动态规划-中等）

题目描述：

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

思路分析：（题解来自：https://leetcode-cn.com/u/liweiwei1419/）

动态规划，时间复杂度为 O(N^2)；

“动态规划”的两个步骤是思考“状态”以及“状态转移方程”。

有的资料又将“动态规划”分为 3 步：

base case：思考问题规模最小的时候，是什么情况；
update function：自下而上思考这个问题，即上面的“状态转移方程”；
gola：重点强调了输出是什么，很多时候输出并不一定是最后一个状态。
我觉得这种分法更细致一点，“状态”以及“状态转移方程”也没有问题，但是我觉得还要加上一个，思考一下“输出”是什么，即将第 2 种的第 3 步加上去，在下面的分析中，我还会强调这一点。

1、定义状态

首先我们考虑能否将题目的问法定义成状态，即 dp[i] 表示长度为 i 的最长上升子序列的长度，但仔细思考之后，我们发现：由于“子序列”不要求连续，长度为 i - 1 的最长上升子序列，与长度为 i 的“最长上升子序列之间的递推关系并不那么容易得到。

但我们由「力扣」第 3 题：“无重复字符的最长子串”以及「力扣」第 53 题：“最大子序和”这两个问题的经验，再结合题意，可以知道，“上升”的递推关系是：看子序列最后一个数，如果一个新数，比子序列最后一个数还大，那么就可以放在这个子序列的最后，形成一个更长的子序列。反正一个子序列一定会以一个数字结尾，那我就将状态成以 nums[i] 结尾的“最长上升子序列”的长度，这一点是常见的。

dp[i]：表示以第 i 个数字为结尾的“最长上升子序列”的长度。即在 [0, ..., i] 的范围内，选择 以数字 nums[i] 结尾 可以获得的最长上升子序列的长度。注意：以第 i 个数字为结尾，即 要求 nums[i] 必须被选取。

初始化的时候，因为每个元素自己可以认为是一个长度为 1 的子序列，所以可以将 dp 数组的值全部设置为 1。

定义输出：下面要考虑一下输出，由于状态不是题目中的问法，因此不能将最后一个状态作为输出，这里输出是把 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 全部看一遍，取最大值。

2、推导“状态转移方程”

遍历到索引是 i 的数的时候，根据上面“状态”的定义，考虑把 i 之前的所有的数都看一遍，只要当前的数 nums[i] 严格大于之前的某个数，那么 nums[i] 就可以接在这个数后面形成一个更长的上升子序列。因此，dp[i] 就是之前严格小于 nums[i] 的“状态”最大值加 1。

因此，状态转移方程是：

dp[i] = max{1 + dp[j] for j < i if nums[j] < nums[i]}

代码实现：

class Solution {
       public static int lengthOfLIS(int[] nums) {

        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        Arrays.fill(dp, 1);
        //初始化dp数组，每个元素至少都是以它自身为结尾，长度为1的自序列
        int maxLen = 0;
        //从第二个元素开始
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            //以当前元素为结尾
            int curVal = nums[i];
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                //当前元素严格大于之前的任何一个片段，则当前元素都可以加在这个区间后面，形成+1长度的自序列
                if (curVal > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        for (int element : dp) {
            maxLen = Math.max(maxLen, element);
        }
        return maxLen;
    }
}

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n)