【题解】51nod 1806 wangyurzee的树

　　看这道题目懵逼了好久， \(m <= 17\) 一眼容斥，然而并没有想到怎么求出生成树的个数。然后灵光一闪——我不是学过一个叫Prüfer编码的东西嘛？！那就完美解决啦~

　　Prüfer编码就是将一棵无根树映射到一串编码上的编码方法，一棵 \(n\) 个节点的树与一个长度为 \(n - 2\) 的编码串一一对应。所以我们要求合法的 = 总数 \(n ^ {n - 2}\) - 不合法的方案数。不合法的方案数 = 至少有 \(1\) 个不合法 - 至少有 \(2\) 个不合法 + 至少有\(3\) 个不合法……有何求出至少有 \(k\) 个不合法的方案数呢？

　　我们可以首先搜索出这 \(k\) 个限制（复杂度约为 \(2^{17}\)），然后令这\(k\) 个限制的 \(sum = \sum d[i] - 1\)，\(sum\) 即为这 \(k\) 个限制中所牵涉到的节点在数列中一共应该出现的次数。满足这个限制（每一个节点出现 \(d[i] - 1\) 次）的数列个数即为 \(\frac{sum!}{\prod (d[i] - 1)!}\)。又因为这 \(sum\) 个数可以出现在长度为 \(n - 2\) 的数列中的任何位置，所以 乘上\(C(n - 2, sum)\)，剩下的 \(n - 2 - sum\) 个数则可以随便选择，有 \((n - k) ^ {n - sum - 2}\) 种方案。完美~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2000000
#define int long long
#define mod 1000000007
int n, m, fac[maxn];
int cnt, tot = , Ans = , S[maxn];
bool mark[maxn], vis[maxn];

int read()
{
    int x = , k = ;
    char c;
    c = getchar();
    while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; c = getchar(); }
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * k;
}

struct node
{
    int x, d;
}Q[maxn];

int Qpow(int x, int timer)
{
    int base = ;
    for(; timer; timer >>= , x = x * x % mod)
        if(timer & ) base = base * x % mod;
    return base;
}

int C(int n, int m)
{
    if(m > n) return ;
    return fac[n] * Qpow(fac[m], mod - ) % mod * Qpow(fac[n - m], mod - ) % mod;
}

void Search(int now, int last)
{
    if(m - last +  < now) return;
    if(!now)
    {
        int tem = , sum = ;
        for(int i = ; i <= cnt; i ++)
            tem = tem * (fac[Q[S[i]].d - ]) % mod,
            sum += Q[S[i]].d - ;
        if(sum > n - ) return;
        tem = Qpow(tem, mod - );
        tem = tem * fac[sum] % mod * C(n - , sum) % mod * Qpow(n - cnt, n - sum - ) % mod;
        if(cnt & ) Ans = (Ans - tem + mod) % mod;
        else Ans = (Ans + tem) % mod;
        return;
    }
    for(int i = last; i <= m; i ++)
    {
        if(vis[Q[i].x]) continue;
        S[++ cnt] = i, vis[Q[i].x] = ; Search(now - , i + );
        cnt --, vis[Q[i].x] = ;
    }
}

signed main()
{
    n = read(), m = read();
    for(int i = ; i <= m; i ++)
        Q[i].x = read(), Q[i].d = read();
    if(n -  > ) Ans = Qpow(n, n - );
    else
    {
        printf("1\n");
        return ;
    }
    fac[] = ;
    for(int i = ; i <= n; i ++) fac[i] = fac[i - ] * i % mod;
    for(int i = ; i <= m; i ++) Search(i, );
    printf("%lld\n", Ans);
    return ;
}