SPFA单源最短路径算法
我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。
如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。
期望时间复杂度:O(me), 其中m为所有顶点进队的平均次数,可以证明m一般小于等于2:“算法编程后实际运算情况表明m一般没有超过2n.事实上顶点入队次数m是一个不容易事先分析出来的数,但它确是一个随图的不同而略有不同的常数.所谓常数,就是与e无关,与n也无关,仅与边的权值分布有关.一旦图确定,权值确定,原点确定,m就是一个确定的常数.所以SPFA算法复杂度为O(e).证毕."(SPFA的论文)不过,这个证明是非常不严谨甚至错误的,事实上在bellman算法的论文中已有这方面的内容,所以国际上一般不承认SPFA算法。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<deque>
using namespace std;
struct Edge
{
int to,length;
};
bool spfa(const int &beg,//出发点
const vector<vector<Edge> > &adjlist,//邻接表,通过传引用避免拷贝
vector<int> &dist,//出发点到各点的最短路径长度
vector<int> &path)//路径上到达该点的前一个点
//C++习惯上函数异常返回非零值,未异常才返回0(想想main函数),因此出现负权回路返回1!
//福利:这个函数没有调用任何全局变量,可以直接复制!
{
const int &INF=0x7FFFFFFF,&NODE=adjlist.size();//用邻接表的大小传递顶点个数,减少参数传递
dist.assign(NODE,INF);//初始化距离为无穷大
path.assign(NODE,-);//初始化路径为未知
deque<int> que(,beg);//(双端)处理队列
vector<bool> flag(NODE,);//标志数组,判断是否在队列中
vector<int> cnt(NODE,);//记录各点入队次数,用于判断负权回路
dist[beg]=;//出发点到自身路径长度为0
++cnt[beg];//开始计数
flag[beg]=;//入队
while(!que.empty())
{
const int now=que.front();//当前处理的点,由于后面被删除,不可定义成常量引用
que.pop_front();
flag[now]=;//将该点拿出队列
for(int i=; i!=adjlist[now].size(); ++i)//遍历所有与当前点有路径的点
{
const int &next=adjlist[now][i].to;//目标点,不妨定义成常量引用,稍稍快些
if(dist[now]<INF&&//若距离已知(否则下面右式计算结果必爆int),且
//注:与运算先判断左式是否成立,若不成立则右式不会被判断
dist[next]>dist[now]+adjlist[now][i].length)//优于当前值
{
dist[next]=dist[now]+adjlist[now][i].length;//更新
path[next]=now;//记录路径
if(!flag[next])//若未在处理队列中
{
if(++cnt[next]==NODE)return ;//计数后出现负权回路
if(que.empty()||//空队列,或(或运算实现原理类似与运算)
dist[next]<dist[que.front()])//优先级高于队首(SLF)
que.push_front(next);//放在队首
else que.push_back(next);//否则放在队尾
flag[next]=;//入队
}
}
}
}
return ;
}
int main()
{
int n_num,e_num,beg;//含义见下
cout<<"输入点数、边数、出发点:";
cin>>n_num>>e_num>>beg;
vector<vector<Edge> > adjlist(n_num,vector<Edge>());//默认初始化邻接表
for(int i=,p; i!=e_num; ++i)
{
Edge tmp;
cout<<"输入第"<<i+<<"条边的起点、终点、长度:";
cin>>p>>tmp.to>>tmp.length;
adjlist[p].push_back(tmp);
}
vector<int> dist,path;//用于接收最短路径长度及路径各点
if(spfa(beg,adjlist,dist,path))cout<<"图中存在负权回路\n";
else for(int i=; i!=n_num; ++i)
{
cout<<beg<<"到"<<i<<"的最短距离为"<<dist[i]<<",反向打印路径:";
for(int w=i; path[w]>=; w=path[w])
cout<<w<<"<-";
cout<<beg<<'\n';
}
}
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