http://poj.org/problem?id=1012 (题目链接)

半年前的考试题。。任然清晰的记得那次差10分就AK。。。

题意

  约瑟夫环,有前k个好人,后k个坏人,要求使得后k个坏人先死的最小m。

Solution

  很水的约瑟夫问题。。半年前还是暴力模拟+打表。。醉了。

  无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

  为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

  问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

  我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):

    k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2

  并且从k开始报0。

  现在我们把他们的编号做一下转换: 
    k –> 0 
    k+1 –> 1 
    k+2 –> 2 
    … 
    … 
    k-2 –> n-2 
    k-1 –> n-1

  变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x’=(x+k)%n

  如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

  令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

  递推公式: 
    f[1]=0; 
    f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

  有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1.

  所提对于这道题我们只需枚举m然后判断即可。

代码

// poj1012
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<set>
#define MOD 1000000007
#define inf 2147483640
#define LL long long
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
inline LL getint() {
LL x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch>'9' || ch<'0') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
} int main() {
int k,a[30]={0};
while (scanf("%d",&k)!=EOF && k) {
if (a[k]) {printf("%d\n",a[k]);continue;}
int n=2*k,m=k;
int ans[30]={0};
for (int i=1;i<=k;i++) {
ans[i]=(ans[i-1]+m-1)%(n-i+1);
if (ans[i]<k) {i=0,m++;if (((m-1)/k)%2==0) m=m+k;}
}
a[k]=m;
printf("%d\n",m);
}
return 0;
}

  

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