[POI2017] Flappy Bird

问题描述

《飞扬的小鸟》是一款风靡的小游戏。在游戏中，小鸟一开始位于(0,0)处，它的目标是飞到横坐标为X的某个位置上。每一秒，你可以选择点击屏幕，那么小鸟会从(x,y)飞到(x+1,y+1)，或者不点击，那么小鸟会飞到(x+1,y-1)。

在游戏中还有n个障碍物，用三元组(x[i],a[i],b[i])描述，表示在直线x=x[i]上，y<=a[i]或者y>=b[i]的部分都是障碍物，碰到或者擦边都算游戏失败。请求出小鸟从(0,0)飞到目的地最少需要点击多少次屏幕。

输入格式

第一行包含两个整数n(0<=n<=500000),X(1<=X<=10^9)。

接下来n行，每行三个整数x[i],a[i],b[i] (0<x[i]<X，-10^{9<=a[i]<b[i]<=10}9)。 数据保证x[i]<x[i+1]。

输出格式

如果无论如何都飞不到目的地，输出NIE，否则输出点击屏幕的最少次数。

解析

假设我们已经确定了在跨过每一个障碍物时的高度，分别记为\(h_1,h_2,h_3,......,h_n\)，再记第i与i-1个障碍物之间点的次数为\(x_i\)，没点的次数为\(y_i\)，那么我们有

\[x_i+y_i=dis_i-dis_{i-1}\\x_i-y_i=h_i-h_{i-1}
\]

通过解方程我们得到

\[x_i=\frac{dis_i-dis_{i-1}+h_i-h_{i-1}}{2}
\]

将所有\(x_i\)相加得到的就是我们的答案，为

\[\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{dis_n+h_n}{2}
\]

所以，我们只需要使到达最后的障碍物时的高度最小即可。那么接下来的问题是如何保证过程合法。我们可以通过递推的方式，得到经过每个障碍时的高度上下界，看过程中是否出现不合法的情况即可。

关于上下界的递推，还有一个需要注意的地方。如果我们一直向下，可能会低于障碍的下界，那么我们就需要点几下回到下界。但是每点一次，最终的高度就会上升2，所以还要考虑一下一直向下得到的高度与\(a[i]+1\)的差值的奇偶性才能得到正确的下界。上界也是同样的道理。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 500002
using namespace std;
int n,d,i,x[N],a[N],b[N],down,up;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w*f;
}
int main()
{
	n=read();d=read();
	for(i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),a[i]=read(),b[i]=read();
	for(i=1;i<=n;i++){
		int dis=x[i]-x[i-1];
		if(down-dis>=a[i]+1) down-=dis;
		else{
			if((a[i]+1-down+dis)%2==0) down=a[i]+1;
			else down=a[i]+2;
		}
		if(up+dis<=b[i]-1) up+=dis;
		else{
			if((up+dis-b[i]+1)%2==0) up=b[i]-1;
			else up=b[i]-2;
		}
		if(down>up){
			puts("NIE");
			return 0;
		}
	}
	int ans=(x[n]+down)/2;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}