【杂题】[CodeForces 1172E] Nauuo and ODT【LCT】【口胡】

Description

给出一棵n个节点的树，每个点有一个1~n的颜色

有m次操作，每次操作修改一个点的颜色
需要在每次操作后回答树上\(n^2\)条路径每条路径经过的颜色种类数和。

\(n,m<=400000\)

Solution

挺有意思的一个套路

首先我们单独计算每种颜色的贡献，对于每种颜色的点集分开考虑，我们需要计算至少经过了其中一个点的路径条数。
正难则反，考虑计算一个点都没经过的路径条数，那就是将点集删去后剩余连通块的大小平方和。

考虑这样一个模型
对于原本每种颜色有一个黑白两色的树，需要支持在某棵树上颜色翻转，求白连通块的大小平方和。
黑点总个数为n

如果只有一棵树，那很好办，直接用个LCT维护白连通块，对于每个点开个虚点连儿子即可。
但这里白点总个数是\(O(n^2)\)的

原题解给出了这样一个精妙的做法。（翻译一遍题解）
先定一个树根

我们维护所有的黑连通块，每个黑连通块深度最浅的点的父亲记为这个连通块的顶点，（对于树根我们也开一个0号节点），显然顶点一定是白的。

LCT的时候，我们将顶点相同的所有节点看做在一个连通块内，事实上他们不一定连通。

现在对于每个节点都记录两个值，一个是连通块中的子树大小，一个是所有儿子的子树大小的平方和。
答案显然就是所有顶点的第二个值的和。

这样颜色反转时，我们只需要讨论这个点是黑点还是白点，黑点的话就cut父亲，显然这个点的信息不变，但这个点会成为顶点，因此更新答案。

白点的话就link父亲，此时父亲变成顶点，这个点的信息还是没变，只用修改父亲节点的值。

我们对于每种颜色都按照操作的时间顺序跑一遍，由于总操作数是\(O(m)\)的，因此总共需要用到的点数是\(O(n+m)\)的

我还没去写这道题，感觉具体可以把每种颜色操作一遍，然后回撤到下一种颜色的初始状态，这样总的操作次数仍然是\(O(n+m)\)的。

总的时间复杂度\(O((n+m)\log n)\)