问题:

爬n阶楼梯,每次只能走1阶或者2阶,计算有多少种走法。

暴力计算+记忆化递归。

从位置 i 出发,每次走1阶或者2阶台阶,记录从位置 i 出发到目标 n 所有的走法数量,memoA[i] 。记录的数据可以重复使用,避免冗余计算。

时间复杂度:O(n)。每次计算从 i 位置出发到终点 n 的走法,共计算 n 次,即树形递归的大小为n。

空间复杂度:O(n)。使用了长度为 n 的数组。

clock_t start1, end1;

class Solution {
public:
int climbStairs(int n) { int memo[n+] = {}; start1 = clock();
int result = climb_stairs(, n, memo);
end1 = clock(); cout << "cost time = " << (double)(end1 - start1) / CLOCKS_PER_SEC << endl; return result;
} int climb_stairs(int i, int nums, int memoA[]) { if (i > nums)
return ; if (i == nums)
return ; if (memoA[i] > )
return memoA[i]; memoA[i] = climb_stairs(i+, nums, memoA) + climb_stairs(i+, nums, memoA); return memoA[i];
}
};

动态规划

动态规划的关键步骤在于构建递归函数。由于第n级阶梯可由第n-1级(跨一步)和第n-2级(跨两步)到达。记 f(n) 为到达第n级阶梯的方案数量,则有递归函数 f(n) = f(n-1)+f(n-2).

1)动态规划第一种实现方法:

时间复杂度:O(2^n)。其运算过程就是一个完全二叉树的展开,共有 2^(n-2)+1 个节点,即递归运算了 2^(n-2)+1 次。

空间复杂度:O(n)。递归深度达到n层。

class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n == )
return ;
if (n == )
return ; int sumMethod = climbStairs(n-) + climbStairs(n-); return sumMethod;
}
};

2)动态规划第二种实现方法:

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(n)

class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n == )
return ; int memo[n+] = {};
memo[] = ;
memo[] = ; for(int i = ; i <= n; ++i) {
memo[i] = memo[i-] + memo[i-];
} return memo[n];
}
};

斐波那契数

将动态规划的第二种实现方法进行修改。第一项为1,第二项为2,斐波那契数的计算公式如下:

fib(n) = fib(n-1)+fib(n-2)。

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(1)

还存在时间复杂度为 O(log(n))算法,其核心思想为直接找到第n个斐波那契数,而非进行遍历计算。

这就是算法的魅力。从暴力求解开始,逐步优化算法流程,砍掉冗余的计算步骤,尽可能去除遍历步骤。最终达到提升时间复杂度和空间复杂度的目的。

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