RMQ求最值
1. 概述
RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题,下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然,该问题也可以用线段树(也叫区间树)解决,算法复杂度为:O(N)~O(logN),这里我们暂不介绍。
2.RMQ算法
对于该问题,最容易想到的解决方案是遍历,复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时,该算法无法在有效的时间内查询出正解。
本节介绍了一种比较高效的在线算法(ST算法)解决这个问题。所谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。
(一)首先是预处理,用动态规划(DP)解决。
设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。(DP的状态)
例如:
A数列为:3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1,2]=max(3,2,4,5) = 5,F[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;
并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。(DP的初始值)
这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。
我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段,i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。
代码如下:
void rmq_isit(bool ok)
{
for(int i=;i<=n;i++)
mm[i][]=mi[i][]=a[i];
for(int j=;(<<j)<=n;j++)
{
for(int i=;i+(<<j)-<=n;i++)
{
if(ok)
mm[i][j]=max(mm[i][j-],mm[i+(<<(j-))][j-]);
else
mi[i][j]=min(mi[i][j-],mi[i+(<<(j-))][j-]);
} }
}
这里我们需要注意的是循环的顺序,我们发现外层是j,内层所i,这是为什么呢?可以是i在外,j在内吗?
答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。
状态转移方程的含义是:先更新所有长度为F[i,0]即1个元素,然后通过2个1个元素的最值,获得所有长度为F[i,1]即2个元素的最值,然后再通过2个2个元素的最值,获得所有长度为F[i,2]即4个元素的最值,以此类推更新所有长度的最值。
而如果是i在外,j在内的话,我们更新的顺序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新从1开始1个元素,2个元素,4个元素,8个元素(A[0],A[1],....A[7])的最值,这里F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值,但是我们根本没有计算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7]),所以这样的方法肯定是错误的。
为了避免这样的错误,一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。
(二)然后是查询。
假如我们需要查询的区间为(i,j),那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最小幂(可以重复,比如查询5,6,7,8,9,我们可以查询5678和6789)。
因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1),则有:RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j - 2 ^ k + 1, k]}。
举例说明,要求区间[2,8]的最大值,k = log2(8 - 2 + 1)= 2,即求max(F[2, 2],F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2],F[5, 2]);
在这里我们也需要注意一个地方,就是<<运算符和+-运算符的优先级。
比如这个表达式:5 - 1 << 2是多少?
答案是:4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 - (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。
int rmq(int l,int r)
{
int k=;
while((<<(k+))<=r-l+)
k++;
//printf("%d %d %d %d\n",l,l+(1<<k),r-(1<<k)+1,r-(1<<k)+1+(1<<k));
int ans1=max(mm[l][k],mm[r-(<<k)+][k]);
int ans2=min(mi[l][k],mi[r-(<<k)+][k]);
return ans1-ans2;
}
板子:poj 3264
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = ;
const int maxm = ;
int d_min[maxn][maxm],d_max[maxn][maxm],a[maxn];
int n; void RMQ_init()
{
int i,j;
for(i = ; i <= n; i++)
{
d_min[i][] = a[i];
d_max[i][] = a[i];
}
for(j = ; (<<j) <= n; j++)
for(i = ; i + j - <= n; i++)
{
d_min[i][j] = min(d_min[i][j-],d_min[i + (<<(j-))][j-]);
d_max[i][j] = max(d_max[i][j-],d_max[i + (<<(j-))][j-]);
}
} int RMQ_min(int l,int r)
{
int k = ;
while((<<(k+)) <= r-l+)
k++;
return min(d_min[l][k], d_min[r-(<<k)+][k]);
}
int RMQ_max(int l,int r)
{
int k = ;
while((<<(k+)) <= r-l+)
k++;
return max(d_max[l][k], d_max[r-(<<k)+][k]);
}
int main()
{
int q,l,r,i;
scanf("%d%d",&n,&q);
for(i = ; i <= n; i++)
scanf("%d",&a[i]);
RMQ_init(); while(q--)
{
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",RMQ_max(l,r)-RMQ_min(l,r));
}
return ;
}
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