Kattis - heapsoffun Heaps of Fun (概率密度函数+dp)

题意：有一棵含有n个结点(n<=300)的根树，树上每个结点上的权值是从[0,ai](ai<=1e9)区间内随机的一个实数，问这棵树能形成一个最小堆的概率。

由于结点取值范围是1e9而且是实数，所以枚举权值dp自然是行不通的了，但可以从函数的角度上考虑。

首先需要了解两个概念：

CDF:分布函数，记为F(x)，表示函数F的取值小于等于x的概率。

PDF:概率密度函数，记为f(x)，是F(x)的导数，反之，F(x)是f(x)在区间(-∞,x]上的积分。由于本题所有的取值都是从0开始的，因此也可以表示在区间[0,x]上的积分。

那么答案就是根节点rt所对应的CDF的上界Frt(+∞)。

我们记fu(x)为结点u的取值的PDF，Fu(x)为其CDF，那么对于每个叶子结点u来说：

$f_u(x)=\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}&\frac{1}{a[u]},0\leqslant x\leqslant a[u]\\&0,others\end{aligned}\end{matrix}\right.,F_u(x)=\int_{0}^{x}f_u(t)dt=\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}&\frac{1}{a[u]}x,0\leqslant x\leqslant a[u]\\&1,x>a[u]\end{aligned}\end{matrix}\right.$

那么有了子结点的PDF和CDF，如何去求父结点的PDF和CDF呢？

首先我们要算出每个子结点的取值大于x的概率，因为如果结点u的某个取值x是合法的，那么它的所有子节点的取值都必须大于x。既然Fu(x)表示结点u取值小于等于x的概率，那么取值大于x的概率呢？是1-Fu(x)吗？No！这个公式只适用于叶子结点，因为这里的Fu(x)表示的是“该结点所在子树满足最小堆性质且该结点的值小于等于x的概率”，因此Fu的上界不一定为1，也就是说x的所有取值的概率之和不一定为1。那么应该如何计算呢？

设ub[u]表示结点u及子树下的所有结点的最小的a，那么显然结点u的取值不能超过ub[u]，即ub[u]是结点u取值的上界。

所以，正确的计算方法是结点u取值大于x的概率$G_u(x)=\left\{\begin{matrix}\begin{aligned}&F_u(ub[u])-F_u(x),0\leqslant x\leqslant ub[u]\\&0,x>ub[u]\end{aligned}\end{matrix}\right.$

有了子结点的G，就可以求父结点的f了，通过概率计算公式可得：

$f_u(x)=\frac{1}{a[u]}\prod\limits_{fa[v]=u}G_v(x)$

然后对fu(x)积分可以得到Fu(x)，然后又可以求出Gu(x)，之后就可以继续往父结点递推了。最终答案就是根节点的G(x)的常数项。

复杂度$O(n^3)$

代码如下：（为了方便，代码中每个结点最后保存的函数是G(x)）

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=+,mod=1e9+;
 int hd[N],ne,rt,a[N],n,ub[N];
 struct E {int v,nxt;} e[N];
 void addedge(int u,int v) {e[ne]= {v,hd[u]},hd[u]=ne++;}
 int Pow(int x,int p) {
     int ret=;
     for(; p; p>>=,x=(ll)x*x%mod)if(p&)ret=(ll)ret*x%mod;
     return ret;
 }
 int inv(int x) {return Pow(x,mod-);}
 typedef vector<int> Poly;
 Poly F[N];
 Poly operator*(Poly& a,Poly& b) {
     Poly c(a.size()+b.size()-,);
     for(int i=; i<a.size(); ++i)
         for(int j=; j<b.size(); ++j)
             c[i+j]=(c[i+j]+(ll)a[i]*b[j])%mod;
     return c;
 }
 Poly itg(Poly& a) {
     Poly c(a.size()+,);
     for(int i=; i<a.size(); ++i)c[i+]=(ll)a[i]*inv(i+)%mod;
     return c;
 }
 int eval(Poly& a,int x) {
     int ret=;
     for(int i=a.size()-; i>=; --i)ret=((ll)ret*x+a[i])%mod;
     return ret;
 }
 void dfs(int u) {
     ub[u]=a[u],F[u].push_back(inv(a[u]));
     for(int i=hd[u]; ~i; i=e[i].nxt) {
         int v=e[i].v;
         dfs(v),ub[u]=min(ub[u],ub[v]),F[u]=F[u]*F[v];
     }
     F[u]=itg(F[u]),F[u][]=eval(F[u],ub[u]);
     for(int i=; i<F[u].size(); ++i)F[u][i]=-F[u][i];
 }
 int main() {
     memset(hd,-,sizeof hd),ne=;
     scanf("%d",&n);
     for(int i=,f; i<=n; ++i) {
         scanf("%d%d",&a[i],&f);
         if(f)addedge(f,i);
         else rt=i;
     }
     dfs(rt);
     printf("%d\n",(F[rt][]+mod)%mod);
     return ;
 }