Sumdiv(约数和问题)

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看到这题的题解，大佬都说是小学奥数，蔡得我不敢鸡声。

求 \(a^b\) 所有的约数之和 mod \(9901\) \((1<=a,b<=5*10^7)\)

题解

做这道题，我还赶紧去看了一下 唯一分解定理

我们先把 \(a\) 分解质因数

\[a=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_n^{c_n}\]

比如说 \(12\) 可以分成 \(2^2+3^1\) 啦

因为 同指数幂相乘，指数不变，底数相乘 ，所以就有：

\[a^b=p_1^{c_1*b}*p_2^{c_2*b}*...*p_n^{c_n*b}\]

根据 唯一分解定理，\(a^b\) 的约数和就是

\[(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{c_1*b})*(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{c_2*b})*...*(1+p_3+p_3^2+...+p_3^{c_3*b})\]

大佬看出了是等比数列，而我这个蒟蒻没有看出来

因为等比数列的求和公式要用除法，除法不满足 \(\text{mod}\) 的分配律

所以我们就迎来了这个题目的重点——分治

设 \(\text{sum}(p,c)\)，为 \((1+p+p^2+...+p^{c})\)

• 若 \(c\) 为奇数，则有

\[\text{sum}(p,c)=(1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})+(p^{\frac{c+1}{2}}+...+p^c)\]

\[=1*(1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})+\frac{c+1}{2}*(1+p+...+p^{\frac{c-1}{2}})\]

\[=(1+\frac{c+1}{2})*\text{sum}(p,\frac{c-1}{2})\]

• 若 \(c\) 为偶数数，类似的有

\[\text{sum}(p,c)=(1+\frac{p}{2})*\text{sum}(p,\frac{p}{2}-1)*p^c\]

结合快速幂，时间复杂度上可以过得去

讲了这么多（虽然是看书），我忘了告诉你这个题目我是口胡的。