BZOJ 3173: [Tjoi2013]最长上升子序列

3173: [Tjoi2013]最长上升子序列

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Description

给定一个序列，初始为空。现在我们将1到N的数字插入到序列中，每次将一个数字插入到一个特定的位置。每插入一个数字，我们都想知道此时最长上升子序列长度是多少？

Input

第一行一个整数N，表示我们要将1到N插入序列中，接下是N个数字，第k个数字Xk，表示我们将k插入到位置Xk（0<=Xk<=k-1,1<=k<=N）

Output

N行，第i行表示i插入Xi位置后序列的最长上升子序列的长度是多少。

Sample Input

3
0 0 2

Sample Output

1
1
2

HINT

100%的数据 n<=100000

Source

 

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分析

本来是想找Treap的练手题，考完NOIP放松一下心情的，结果看完题发现根本不用Treap……

首先，因为加入的元素是越来越大的，所以每次加入之后对于后面的元素的LIS的DP值（即以其结尾的最长上升子序列长度）不会改变，而前面的更不会改变。也就是说，最终序列的DP数组就是逐步加入的DP值了。所以只需要想方设法求出最终序列，再做一遍O(NlogN)的LIS问题即可。

求解最终的序列方法多种多样，可以用Treap暴力维护插入操作，也可以逆着推出最终的序列，我选择了后者。

对于第N个插入的元素，其插入的位置就是最终的位置。当它找到了最终位置之后，就把那个位置改为空。类似的，每个元素的最终位置，就是此时的第Xk个非空位置。这个操作用线段树维护即可轻松做到O(logN)，当然也可以树状数组+二分做到O(log^2N)，常数小也许跑得反而更快，(lll￢ω￢)。

代码

 #include <bits/stdc++.h>
 
 using namespace std;
 
 #define low lower_bound
 #define upp upper_bound
 
 const int N = ;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 
 int n;
 int pos[N];
 int num[N];
 int ans[N];
 int stk[N];
 
 struct node
 {
     int lt, rt, sum;
 
     node (void) :
         lt (), rt (), sum () {};
 };
 
 node tree[N << ];
 
 void build (int p, int l, int r)
 {
     node &t = tree[p];
 
     t.lt = l;
     t.rt = r;
 
     t.sum = r - l + ;
 
     if (l != r)
     {
         int mid = (l + r) >> ;
 
         build (p << , l, mid);
         build (p <<  | , mid + , r);
     }
 }
 
 void change (int p, int pos, int val)
 {
     node &t = tree[p];
 
     if (t.lt != t.rt)
     {
         int mid = (t.lt + t.rt) >> ;
 
         if (pos <= mid)
             change (p << , pos, val);
         else
             change (p <<  | , pos, val);
 
         t.sum = tree[p << ].sum + tree[p <<  | ].sum;
     }
     else
         t.sum = val;
 }
 
 int query (int p, int val)
 {
     node &t = tree[p];
 
     if (t.lt != t.rt)
     {
         int tmp = tree[p << ].sum;
 
         if (val <= tmp)
             return query (p << , val);
         else
             return query (p <<  | , val - tmp);
     }
     else
         return t.lt;
 }
 
 signed main (void)
 {
     scanf ("%d", &n);
 
     for (int i = ; i <= n; ++i)
         scanf ("%d", pos + i);
 
     build (, , n);
 
     for (int i = n; i >= ; --i)
     {
         int t = query (, pos[i] + );
         num[t] = i, change (, t, );
     }
 
     memset (stk, inf, sizeof(stk));
 
     for (int i = ; i <= n; ++i)
     {
         *low (stk, stk + i, num[i]) = num[i];
         ans[num[i]] = low (stk, stk + i, num[i]) - stk;
     }
 
     for (int i = ; i <= n; ++i)
         ans[i] = max (ans[i], ans[i - ]);
 
     for (int i = ; i <= n; ++i)
         printf ("%d\n", ans[i] + );
 }

BZOJ_3173.cpp

后记：

大概是刚考完NOIP，又要准备学考，大家的刷题兴致不高啊，居然被我轻松拿了Day榜，(*^_^*)/。

No.	User	Nick Name	AC	Submit	Ratio
1	YOUSIKI	ねえ、あなたは知っていますか、桜の行方の速度は秒速5センチメートル	5	6	83.333%

@Author: YouSiki