[家里蹲大学数学杂志]第237期Euler公式的美

1 Euler 公式 $e^{i\pi}+1=0$

(1) 它把

a.  $e:$ 自然对数的底 $\approx 2. 718281828459$ (数分)

b.  $i$: 虚数单位 $=\sqrt{-1}$ (复变)

c.  $\pi$: 圆周率 $\approx 3. 1415926$ (小学就学了)

d.  $1$: 自然数的单位 (道生一,一生二,二生三,三生万物---老子关于万物的起源)

e.  $0$: 人类最伟大的发现之一 (可以考虑平衡, 欠费等问题了) 这些数学中最重要的一些常数联系了起来.

(2) 它把现代数学的三大分支

a.  分析 (Analysis)  $(e,i)$

b.  代数 (Algebra)  $(1,0)$

c.  几何 (Geometry)  $(\pi)$ 联系了起来.

2. $$\beex \bea e&=\lim_{n\to\infty}\sex{1+\frac{1}{n}}^n =\lim_{n\to\infty}\sex{1+\frac{1}{n}}^{n+1}\\ &\quad\sex{\sex{1+\frac{1}{n}}^n\nearrow e,\quad \sex{1+\frac{1}{n}}^{n+1}\searrow e}\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\\ &=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\ve_n.  \eea \eeex$$ 于是我们可以用 $$\bex 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \eex$$ 来近似计算 $e$, 而产生的误差 $\ve_n$ 满足 练习::  $$\bex \frac{1}{(n+1)!}<\ve_n<\frac{1}{n!n}. \eex$$ 提示::  估计余项 $$\bex \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots.  \eex$$ 数 $e$ 是 Euler 于 1728 年引入作为自然对数的底.

(1) $e$ 是最``自然''的对数的底. Why? $$\bex (\ln x)'=\frac{1}{x},\quad (e^x)'=e^x.  \eex$$

(2) 说到对数, 在计算中重要, 把 ``乘法运算'' 变换成 ``加法运算''. 思考::  有一种变换把 ``求导运算'' 变换成 ``乘法运算''. 知道是什么吗? 提示::  利用分布积分可以证明 Fourier 变换 $$\bex \scrF\sex{f}(\xi) =\int f(x)e^{-ix\cdot \xi}\rd x \eex$$ 适合 $$\bex \scrF\sex{\frac{\p f}{\p x_1}} =i\xi_1\scrF(f). \eex$$

(3) $e$ 是无理数, 也是超越数 (1873 年, Hermite). 开放性问题 (Open Problem)::  $e+\pi$ 是无理数么? 定义::  一个数称为代数数, 如果它是某个整系数多项式的根. 不是代数数的数称为超越数.

3. $i$: 虚数单位

(1) 意大利数学家 Cardano 在解三次方程的时候引入的. 不过那时候还不知道 $\sqrt{-1}$ 的含义是什么, 纯粹是一种形式记号.

(2) $\sqrt{-1}$ 的几何意义 (画图: $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=-1$---乘以 $-1$ 相当于旋转 $180^\circ$, 而乘以 $\sqrt{-1}$ 相当于旋转 $90^\circ$, 我们从``一维直线''到了``二维平面'').

(3) 把 $i=\sqrt{-1}$ 引入后, 我们进入了二维世界. 可以作加法和乘法, 且都有逆运算---减法和除法. 如此构成一个 ``域 (Field)''. 注记::  到此, 绝大部分数学家就够用了. 当然有些代数学家可能还不满足.

(4) 二维很重要! 殊不知数学分析用了一册讲一元, 一册讲多元. 而复变函数整一本讲二元! 说到 ``2'', 我们看看它的重要性 (不记得参考文献了, 以前看过一点):

a.  $2$: 最小的素数, 唯一的偶素数.

b.  $\dps{F=G\frac{mM}{r^2}}$, 万有引力.

c.  流体力学方程组 $$\bex \left\{\ba{ll} \p_t\bbu+(\bbu\cdot\n)\bbu-\lap\bbu+\n p=0,\quad(\mbox{动量守恒})\\ \n\cdot\bbu=0,\quad(\mbox{能量守恒}) \ea\right.  \eex$$ 在 $2$ 维的时候解是整体存在的. 这里, $\bbu=(u_1,u_2)$ 是流体的速度, $p$ 是压力, $\bbu\cdot\n$ 是 $\bbu$ 与 $\n$ 的``内积''. 在 $3$ 维的时候是 ``千禧年大奖难题''.

d.  $E=mc^2$.

4. $\pi$: 圆周率---单位圆的半周长.

(1) 远古时代: 古希腊 Archimedes 和古中国刘徽有 Archimedes- 刘徽算法---近似计算 $\pi$. 具体如下: 先算出单位圆的外切和内接正 $6$ 边形的半周长, 为 $a_1=2\sqrt{3}$, $b_1=3$. 然后不断平分, 可以得到外切和内接正 $2^n\cdot 3$ 边形的半周长, 分别为 $$\bex a_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\quad b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}. \eex$$ 练习::  利用单调有界定理证明 $\sed{a_n}$、$\sed{b_n}$ 收敛; 利用上述几何意义证明 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\pi}$. 注记::  这个算法是一阶的 (数值分析), $$\bex |a_{n+1}-\pi|\leq C|a_n-\pi|. \eex$$

(2) Newton 利用他自己分明的二项式定理和微积分用``分析''的方法给出了 $\pi$ 的更好的估计: $$\bex \int_0^\frac{1}{4}\sqrt{x-x^2}\rd x +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} =\frac{\pi}{3}. \eex$$

(3) 1976 年, Salami 和 Brent 给出了如下算法: $$\bex a_0=1,\quad b_0=s_0=\frac{1}{\sqrt{2}}; \eex$$ $$\bex a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},\quad b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}; \eex$$ $$\bex s_n=s_{n-1}-2^n(a_n^2-b_n^2); \eex$$ $$\bex p_n=\frac{2a_n^2}{s_n}. \eex$$ 可以证明 $\sed{p_n}$ 二阶收敛于 $\pi$\footnote{每算一次, 有效位数增加一倍.}, 即 $$\bex |p_{n+1}-\pi|\leq C|p_n-\pi|^2. \eex$$

(4) 现在已经有了任意高阶的算法.

5. 证明 Euler 公式: 由 $$\beex \bea e^{i\theta}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\theta)^n}{n!} &=1+i\frac{\theta}{1!} -\frac{\theta^2}{2!} -i\frac{\theta^3}{3!} +\cdots\\ \cos \theta=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!} &=1\quad\quad\ \,-\frac{\theta^2}{2!}+\cdots\\ \sin \theta =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\theta^{2n}}{(2n)!} &=\quad\quad\frac{\theta}{1!}\quad\quad\ \ \, -\frac{\theta^3}{3!}+\cdots\\ \eea \eeex$$ 即知 $$\bex e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta.  \eex$$ 令 $\theta=\pi$ 即有 $e^{i\pi}=-1\ra e^{i\pi}+1=0$.

6. 推荐读物 天才导引的历程---数学中的伟大定理 (The Journey through Genius---The Great Theorems in Mathematics).