UOJ263 【NOIP2016】组合数问题

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题目描述

组合数 CmnCnm 表示的是从 nn 个物品中选出 mm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 CmnCnm 的一般公式：

Cmn=n!m!(n−m)!Cnm=n!m!(n−m)!

其中 n!=1×2×⋯×nn!=1×2×⋯×n；特别地，定义 0!=10!=1。

小葱想知道如果给定 n,mn,m 和 kk，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

输入格式

从标准输入读入数据。

第一行有两个整数 t,kt,k，其中 tt 代表该测试点总共有多少组测试数据，kk 的意义见问题描述。

接下来 tt 行每行两个整数 n,mn,m，其中 n,mn,m 的意义见问题描述。

输出格式

输出到标准输出。

tt 行，每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j) 满足 CjiCij 是 kk 的倍数。

样例一

input

1 2

3 3

output

explanation

在所有可能的情况中，只有 C12=2C21=2 是 22的倍数。

样例二

input

output

0

7

正解：矩阵前缀和+组合数学
解题报告：

　　这是一道很简单的数学题，可以发现其实如果根据组合中的一个基本公式：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1),就可以直接递推出2000以内的所有的组合数。而我们只需要判断有多少个点对满足是k的倍数，很容易想到只要对k取模，对于为0的C(i,j)是肯定满足是k的倍数的。

　　因为k是所有询问共用的，可以一开始就预处理出矩阵前缀和，之后每次O(1)查询就可以了。

注意事项：

　　很多人在考场上写的是质因数分解，但是很明显有一些k并不是质数，所以并不能直接分解，应该先对k进行质因数分解，在对于这些质因数在递推中分析。

 #include <iostream>

 #include <cstdio>

 #include <cmath>

 #include <cstring>

 #include <algorithm>

 #include <string>

 #include <ctime>

 #include <queue>

 #include <vector>

 #include <cstdlib>

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 const int MAXN = ;

 int T,k,n,m,ans;

 int C[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN];

 int sum[MAXN][MAXN];

 void work(){

     scanf("%d%d",&T,&k);

     C[][]=C[][]=;

     for(int i=;i<=;i++){

         C[i][]=;

         for(int j=;j<=i;j++) {

             C[i][j]=C[i-][j-]+C[i-][j];

             C[i][j]%=k;

             if(C[i][j]==) {

                 a[i][j]=;

             }

         }

     }

     for(int i=;i<=;i++)

         for(int j=;j<=;j++)

             sum[i][j]=sum[i-][j]+sum[i][j-]-sum[i-][j-]+a[i][j];

     while(T--) {

         scanf("%d%d",&n,&m); m=min(m,n);

         printf("%d\n",sum[n][m]);

     }

 }

 int main()

 {

     work();

     return ;

 }