math-2人博弈

问题描述：

　　100根火柴，2人轮流取，每人每次只能取1-7根，取走最后一根火柴的人获胜。问有没有一种策略肯定能够获胜？该策略具体：先取or后取，怎么取？

思维过程：

　　step1：题目问的很明显，所以肯定是有一种方法能够获胜的，因为自己读题时对“先取还是后取”字眼比较关注，且由于先取，不能保证另一方取完后的数量，所以假设为后取（这个假设算是一个坑吧）

　　step2：问题肯定存在某种规律，我认为是2人每一回合取的火柴数。2人轮流取，后取的肯定能够保证这一轮总数为8，>8的数是不可能的了。

　　step3：每一回合按照step2中的这样取，最后还剩4根。当时自己怎么都绕不过来这四根应该怎么办，然后就开始动摇是不是不应该每次使得总和为8，如果不保持这个数的话，取的数就会乱套，也不行（PS：愣是没有想到推翻假设）

　　step4：实在不行了，就开始从结局开始往前推，假设2人都是明白道理的话，最后一局肯定是8根，再往前推一局，推推推……发现不行啊，100根太多了。就以10根为例推，还是有点乱。

　　step5：最后还是觉得之前保持8根的想法是对的，就从100根倒着减8，减了几次，恍然大悟，可以先取4根，后面就能够保持平衡了……　　

结果：

　　先取，第一次取4根，后面只要与另一个人在同一回合相加为8就ok.

　　（不过刚刚又想到其实后取也是可以的，只要在中途多取几根，多取的总数为4也行，（如果前面的人永远取1根，那第一轮的时候取3根也能凑4）hahha,这个解决方法是刚刚写的时候想到的！）

总结：

　　要记得自己假设了什么，有时候推翻假设是关键

——————————————————————————————————————————————————————————————

推广：

　　有两堆水果，数量分别为m,n。2人轮流取，每次只能在一堆水果中取，每次可以取1~这堆水果的总量。取走最后一个水果的人获胜。问：同上。

思维过程：

　　step1：假设每次都尽可能赢，最后一局的时候，结果为2堆各剩余1个。那么就可以把两堆分成4堆，即两堆中的1个不拿，问题可以转换为谁正好拿完剩余的那些，那么他就是赢的。转化后的问题跟原问题一样了，即两堆中的2个不拿，谁拿完剩余的那些，那么他就是赢家。如果一直往前推的话，到第三次转换的时候就出现问题了，即剩余3个不拿，谁拿完剩余的那些，谁就是赢家（我是到这一步才明白不能递推）。因为他可以直接拿到只剩一个，所以这种每堆只剩3个的情况可以是不存在的。综上，只有两堆都只剩1个，这种情况才是肯定会存在的（在第一句假设上）。（找确定情况）

　　step2：往后递推的方式不行，就考虑了此题与上一题的区别，很明显的一点就是，拿的个数放宽了，所以每次拿完之后情况复杂，不能看出规律来。

　　step3：这时候，我采用了特例的方法，假设每次每个人只拿一个，分析先拿和后拿的情况，发现跟m+n的奇偶性有关。但是推翻这个假设又想不通了。又将个数实例化，且去比较小的值，但是情况也是乱七八糟的。然后就放弃这个方法了。

　　step4：直觉上觉得应该还是应该从后面固定的局面（即两堆各剩下1个）往前推。感觉也是有点漫无目的想。可以说是自己模拟情况，也没有什么进展。

　　step5：然后在睡觉前又想了一会，又有点跳回到step1中的想法，后来猛然惊醒，忽然想每次只要跟对方拿的一样就行了啊。然后有修正了一下，感觉只要每一回合之后，两堆剩余的个数一样就可以了，只要谁能够在其这一次拿完之后使得两堆剩余一样就可以了。考虑先拿后拿的问题，由于上一题的经验，可以说先后其实是相对的，所以觉得先后无关，但是仔细想想就发现，m≠n是，为了保证能够获胜，先拿使得两堆数量相同，才能自己赢，因为如果后拿，先拿的人知道这个规律，那么你是不可能使得两堆相等的。（感觉“忽然顿悟”这一点实在是难以琢磨，不知道为何自己忽然就知道了，不过现在想想，可能也跟step1中的递推有关系，因为当时就发现如果这样下去，每次两堆剩下的数量都是一样的。这应该也算是线索之一吧）

结果：

　　先拿，每次拿完之后只要保证两堆数量相等即可。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 总结：

　　虽然题目看上去差不多，中间也用了一些相同的办法去做，但是感觉到第一问题还是有迹可循的，第二问题就有点靠联想而不是推理或者是逻辑演练了。

　　相同点：思路都是从题目中反推出结果成立需要满足的情况，再由这个确定的情况出发，联想或者推理。

　　不同点：问1规律明显，问2规律不明显（甚至我都觉得自己找不到规律啊）