[物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势

设有一均匀分布着电荷的半径为 $R$ 的球面, 其电荷密度 (即单位面积上的电荷量) 为 $\sigma$. 试求该球面所形成电场的电场强度及电势.

解答: 设 $P$ 距圆心的距离为 $r$, 不妨设 $P(r,0,0)$. 则 $$\beex \bea  {\bf E}(P)&=\cfrac{\sigma}{4\pi\ve_0}\int_{x^2+y^2+z^2=R^2} \cfrac{(x-r,y,z)}{[(x-r)^2+y^2+z^2]^\frac{3}{2}}\rd S\\ &=\cfrac{\sigma}{4\pi \ve_0} \sex{ \int_{x^2+y^2+z^2=R^2} \cfrac{x-r}{[(x-r)^2+y^2+z^2]^\frac{3}{2}}\rd S, 0,0}. \eea \eeex$$ 故在 $P$ 处的场强的方向为 $\vec{OP}$, 大小仅与 $|\vec{OP}|$ 有关. 据 Gauss 定理, $$\bex E\cdot 4\pi r^2=\int_{x^2+y^2+z^2=r^2} {\bf E}\cdot {\bf n}\rd S =\int_{x^2+y^2+z^2<r^2}\cfrac{\rho}{\ve_0}\rd V, \eex$$ $$\bex E(r)=\sedd{\ba{ll} 0,&r<R,\\ \cfrac{R^2\rho}{r^2\ve_0},&r>R. \ea} \eex$$ 电势 $$\bex \phi(x,y,z)=\sedd{\ba{ll} 0,&r<R,\\ -\int_R^r \cfrac{R^2\rho}{s^2\ve_0}\rd s =\cfrac{R^2\rho}{\ve_0}\sex{\cfrac{1}{r}-\cfrac{1}{R}},&r>R. \ea} \eex$$