C#版(击败100.00%的提交) - Leetcode 372. 超级次方 - 题解

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Leetcode 372. 超级次方 - 题解

372.Super Pow

在线提交: https://leetcode.com/problems/super-pow/

题目描述

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你的任务是计算 ab" role="presentation">abab 对 1337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出。

示例 1:

a = 2
b = [3]

结果: 8

示例 2:

a = 2
b = [1,0]

结果: 1024

示例 3:

a = 2147483647
b = [2,0,0]
结果: 1198

致谢：

特别感谢 @Stomach_ache 添加这道题并创建所有测试用例。

• 题目难度：Medium

• 通过次数：77

• 提交次数：399

• 相关话题 数学
  
  相似题目 Pow(x, n)

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相关知识与思路:

直接用字符串处理的话，对corner case(示例3)会越界~

public class Solution
{
    public int SuperPow(int a, int[] b)
    {
        int res = 0;
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        foreach (var item in b)
            sb.Append(item);
        int.TryParse(sb.ToString(), out int p);
        var val = (int) Math.Pow(a, p);
        res = val - (val / 1337)*1337;

        return res;
    }
}

因此需利用模运算的性质来优化~

模运算的相关性质：

换算公式

有些模运算操作可以被因式分解或展开，类似于其他的数学运算。这在密码证明中应用很广泛，例如Diffie-Hellman(迪菲-赫尔曼)秘钥交换算法。

恒等式/同一性(Identity)：

(a mod n) mod n = a mod n。

对于任意正整数x，nx" role="presentation">nxnx mod n = 0。

如果p是素数，但不是b的约数，则由费马小定理 (ap" role="presentation">apap≡a (mod p))，可得a⋅bp−1" role="presentation">a⋅bp−1a⋅bp−1 mod p = a mod p。

逆运算：

[(-a mod n) +(a mod n) ] mod n = 0。

b−1" role="presentation">b−1b−1 mod n被称为”模逆元”，整数 a 对模数 n 之模逆元存在的充分必要条件是 a 和 n 互素，若此模逆元存在，在模数 n 下的除法可以用和对应模逆元的乘法来达成，[( b−1" role="presentation">b−1b−1mod n) (b mod n)] mod n = 1。

分配率：

(a + b) mod n = [(a mod n) +(b mod n) ] mod n。

a⋅b" role="presentation">a⋅ba⋅b mod n = [(a mod n) (b mod n) ] mod n。

d mod(a⋅b⋅c" role="presentation">a⋅b⋅ca⋅b⋅c) =(d mod a) + a [(d \ a) mod b] + a⋅b" role="presentation">a⋅ba⋅b [(d \ a \ b) mod c]，其中\是欧几里德除法的商的算子。

c mod(a + b) =(c mod a) + [b⋅c" role="presentation">b⋅cb⋅c (a + b) ] mod b - [b⋅c" role="presentation">b⋅cb⋅c (a + b) ] mod a。

除法 ：

A/B

ab" role="presentation">ababmod n = [(a mod n) (b−1" role="presentation">b−1b−1 mod n) ] mod n，当b和n互质时，右边被定义。反之亦然。

相乘后的逆(Inverse multiplication)：

[(a⋅b" role="presentation">a⋅ba⋅b mod n) (b−1" role="presentation">b−1b−1 mod n) ] mod n = a mod n。

特殊性质:

x % 2n" role="presentation">2n2n == x & (2n−1" role="presentation">2n−12n−1)

另外，与之相关的一个概念是同余(Congruence relation)。

此题需用到分配率中的:

a⋅b" role="presentation">a⋅ba⋅b mod n = [(a mod n) (b mod n) ] mod n

已AC代码:

public class Solution
{
    const int Mod0 = 1337;
    public int SuperPow(int a, int[] b)
    {
        if (b.Length == 0)
            return 1;

        var res = 1;
        for (int i = b.Length - 1; i >= 0; i--)
        {
            res = powMod(a, b[i]) * res % Mod0;
            a = powMod(a, 10);
        }

        return res;
    }

    private int powMod(int a, int m)
    {
        a %= Mod0;
        int result = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++)
            result = result * a % Mod0;

        return result;
    }
}

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按理说，如果将a%m改为a-(a/m)*m，代码运行速度会变快些，结果变得更慢了，而且运行时间不稳定。

public class Solution
{
    const int Mod0 = 1337;
    public int SuperPow(int a, int[] b)
    {
        if (b.Length == 0)
            return 1;

        var res = 1;
        for (int i = b.Length - 1; i >= 0; i--)
        {
            var powModResult = powMod(a, b[i]) * res;
            res = powModResult - (powModResult / Mod0) * Mod0;
            a = powMod(a, 10);
        }

        return res;
    }

    private int powMod(int a, int m)
    {
        a = a - (a / Mod0) * Mod0;
        int result = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++)
            result = result * a - (result * a / Mod0) * Mod0;

        return result;
    }
}

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