数位dp 笔记

数位dp一直是我的弱项,惦记好久了,最近补了补,感觉还行。

解决的问题 & 主体思想

解决一个区间中,满足某些条件(与每一位有关)的数的数量(或者带权的和)。

做法:考虑求前缀 \([1,x]\) 的答案。

如果你是新手,请先考虑一下大概要怎么做,再继续看

先把位(不一定是十进制)拆开来,然后是一个形如 "dp到第 \(i\) 位,..." 的 dp,一般可以用记忆化搜索,一位一位的填,使得它看起来友好一些(个人感觉这样可读性好)。

然后要解决 \(\le x\) 的限制。每次按照这样的规则来填数字:

  • 默认每一位都不能超过 \(x\) 对应的位
  • 如果有一位小于了 \(x\) 对应的位,则后面就没限制了

这个很好理解。比如说现在钦点下来是 \(123***\),\(x=123456\),那后面显然不能超过 \(456\)。

而如果现在钦点下来是 \(122***\),那它就算是 \(122999\),也不会超过 \(x\)。

用一个 lim 标记维护当前是否卡到上界。注意它应该被记在 dp 状态里。

入门 —— windy数

求区间满足:任意相邻两位的差都不超过 \(2\) 的数,的数量。

dp 状态:到第几位,当前选了什么(以决定下一个可不可以选),lim

然后每次 dfs 扩展的时候,判断一下下一个填的是否合法,再加个记忆化,就行了。

代码

绕一个弯 —— 萌数

求区间满足:将数看成字符串,没有任何长度 \(\ge 2\) 的回文串的数,的数量。

没有任何长度 \(\ge 2\) 回文串 \(\rightarrow\) 任意一个字符和它前面一个,两个都不同。

这样就保证了没有长度等于 \(2,3\) 的回文串,然后其余的回文串都是由这两种扩展出来的,自然也没有了。

剩下就很好 dp 了,和上一个差不多。

代码

the end? —— 恨7不成妻

hdu的题,我第一次学数位dp的时候被老师称作“毕业题”

你要能把这个题写出来,你数位dp就差不多了

当时看着老师标程打的,现在简单复习了一下,发现还挺好想的 然后把它秒了,其实就是一个傻逼缝合怪题

要满足三个条件:

  • 不能有数位7
  • 数位和不能是7的倍数
  • 数本身不能是7的倍数

区间求满足条件平方和。

这里涉及到一个带权求和。带权求和状态要变一下,表示从这位开始截取,的带权和。

比如说 \(x=123\),填好了 \(11*\),满足条件的数有 \(111\),\(113\),\(114\),\(116\),\(118\)

带权和为 \(1^2+3^2+4^2+6^2+8^2=126\)

为什么要做一步截取呢?因为要方便转移。考虑转移,相当于,我先确定好后面若干位,在它们的前面都填上相同的数字(这里相当于放上了 \(1\))

然后填相同的数字可以看做是加法 (这里相当于 \(+10\))

然后平方和,整体加,好做吧:再维护数量和一次方和,设为 dp[...][0/1/2],对应数量,和,平方和

设现在整体加的为 \(a\),后面一位的 dp[...][0/1/2] 记下来为 nex[0/1/2],现在的是 cur[0/1/2],则有:

cur[0]+=nex[0];
cur[1]+=nex[1]+nex[0]*a;
cur[2]+=nex[2]+2*nex[1]*a+nex[0]*a*a

(就是拆括号搞一下就行)

对于条件:

  • 每次不填 \(7\)
  • 记录数位和对 \(7\) 的余数,放在状态里,取 \(0\) 那个状态
  • 记录整个数对 \(7\) 的余数,放在状态里,取 \(0\) 那个状态

代码

小心细节 [SDOI2016]储能表

求 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{m-1} \max(i\oplus j-k,0)\)

\(n,m,k\le 10^{18}\)

后面等价成 \(>k\) 的和,减去 \(>k\) 的数量乘以 \(k\)

拆成二进制,做数位 \(dp\)。记下三个 lim,表示是否卡在 \(n\) 的上界,\(m\) 的上界,\(k\) 的下界 (因为 \(k\) 那边是个 \(>\) 的限制)

然后上一题类似的求一下带权和就行了,要维护一下数量和总和。

代码

复杂度起飞 [AHOI2009]同类分布

由于数位 dp 的基本模型只有一个 log,所以可以带很多别的

题意:求区间能整除数位和的数的数量

比如 \(12\) 就满足条件因为 \(1+2\) 是 \(12\) 的倍数

\(x\le 10^{18}\)

注意到数位和不会超过 \(9\times 18=162\)

先枚举数位和 \(k\),然后 dp 里设两维,一维表示当前数位和,一维表示当前数模 \(k\) 的余数。最后取答案就是 \(\%k=0\),数位和 \(=k\) 的那个状态

复杂度是 \((9\times \log n^3)\log n\),非常暴力

代码

数位dp 笔记的更多相关文章

  1. 数位DP笔记

    数位DP 1.定义: 数位dp是一种计数用的dp,一般就是要统计一个区间[L,R]内满足一些条件数的个数.所谓数位dp,字面意思就是在数位上进行dp: 数位的含义:一个数有个位.十位.百位.千位... ...

  2. 「笔记」数位DP

    目录 写在前面 引入 求解 特判优化 代码 例题 「ZJOI2010」数字计数 「AHOI2009」同类分布 套路题们 「SDOI2014」数数 写在最后 写在前面 19 年前听 zlq 讲课的时候学 ...

  3. 数位DP学习笔记

    数位DP学习笔记 什么是数位DP? 数位DP比较经典的题目是在数字Li和Ri之间求有多少个满足X性质的数,显然对于所有的题目都可以这样得到一些暴力的分数 我们称之为朴素算法: for(int i=l_ ...

  4. 算法笔记--数位dp

    算法笔记 这个博客写的不错:http://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392 数位dp的精髓是不同情况下sta变量的设置. 模板: ]; ...

  5. 数位DP复习笔记

    前言 复习笔记第五篇.(由于某些原因(见下),放到了第六篇后面更新)CSP-S RP++. luogu 的难度评级完全不对,所以换了顺序,换了别的题目.有点乱,见谅.要骂就骂洛谷吧,原因在T2处 由于 ...

  6. 【学习笔记&训练记录】数位DP

    数位DP,即对数位进行拆分,利用数位来转移的一种DP,一般采用记忆化搜索,或者是先预处理再进行转移 一个比较大略的思想就是可以对于给定的大数,进行按数位进行固定来转移记录答案 区间类型的,可以考虑前缀 ...

  7. bzoj 1026: [SCOI2009]windy数 & 数位DP算法笔记

    数位DP入门题之一 也是我所做的第一道数位DP题目 (其实很久以前就遇到过 感觉实现太难没写) 数位DP题目貌似多半是问从L到R内有多少个数满足某些限制条件 只要出题人不刻意去卡多一个$log$什么的 ...

  8. 数位DP 学习笔记

    前言:鸣谢https://www.luogu.com.cn/blog/virus2017/shuweidp.感谢大佬orz ----------------------------- [引入] 首先要 ...

  9. [学习笔记] 数位DP的dfs写法

    跟着洛谷日报走,算法习题全都有! 嗯,没错,这次我也是看了洛谷日报的第84期才学会这种算法的,也感谢Mathison大佬,素不相识,却写了一长篇文章来帮助我学习这个算法. 算法思路: 感觉dfs版的数 ...

随机推荐

  1. MD5,BASE64Encoder加密

    package com.cn.peitest; import java.io.UnsupportedEncodingException; import java.security.MessageDig ...

  2. 【探索之路】机器人篇(2)-ROS系统并创建工作空间和项目

    在ROS官网,已经给出了详细的教程.下面我就般一下砖,把相应的操作写到这里.官方网址:http://wiki.ros.org/cn/ 安装ROS系统 indigo在ubuntu上的安装教程.官网:ht ...

  3. java final思考

    final关键之主要用在三个方向: 数据 对于基本类型,final使数据恒定不变:而对于对象引用,final使引用恒定不变即无法再重新new另一个对象给他: 空白final JAVA允许定义一个空白f ...

  4. jupyter安装插件Nbextensions,实现代码提示功能(终极方法)

    jupyter安装插件,实现代码提示功能 第一步 pip install jupyter_contrib_nbextensions -i https://mirrors.tuna.tsinghua.e ...

  5. linux下网络设置和远程连接

    配置ip.子网掩码.静态设置.开机启动ONBOOT网卡 /etc/sysconfig/network-scripts/ifcfg-eth0 重启网络 service  network  restart ...

  6. llinux文件相关指令

    一---导读 首先我们来看这样一个小案例,假设张三要出差,按照 这样的路线进行 北京->上海,之后回到北京.再按照北京->天津->石家庄这样的路线进行出差(北京是根据地).假设现在张 ...

  7. std::thread线程库详解(2)

    目录 目录 简介 最基本的锁 std::mutex 使用 方法和属性 递归锁 std::recursive_mutex 共享锁 std::shared_mutex (C++17) 带超时的锁 总结 简 ...

  8. 免费、开源的基于tp5的快速开发框架

    HisiPHP 系统官网:https://www.hisiphp.com/ 后台体验:http://v2.demo.hisiphp.com/admin.php/system/publics/index ...

  9. python Logger模块单例模式

    前言 提前祝大家过个好年 最近忙于项目,今天抽出点时间写写Blog谈谈昨天遇到的问题 项目最近要收尾了,想把Logger规整一下,因为很多地方都有用到 Python的Logger模块是Python自带 ...

  10. SpringCloud Gateway快速入门

    SpringCloud Gateway cloud笔记第一部分 cloud笔记第二部分Hystrix 文章目录 SpringCloud Gateway Zull的工作模式与Gateway的对比 Rou ...