P2260 [清华集训2012]模积和 【整除分块】

一、题目

　　P2260 [清华集训2012]模积和

二、分析

　　参考文章：click here

　　具体的公式推导可以看参考文章。博主的证明很详细。

　　自己在写的时候问题不在公式推导，公式还是能够比较顺利的推导出来，但是，码力不够，比如说在乘积的时候，因为输入时候的$n$和$m$没有注意，一直用的$int$类型的，导致中间结果早就爆了，自己却浑然不知。

　　还有一个细节就是题目给的模数不是质数，所以求逆元的时候需要使用扩展欧几里得进行求解逆元。　　

三、AC代码

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2
 3 using namespace std;
 4 #define ll long long
 5 #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
 6 #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 7 const int mod = 19940417;
 8 const int inv = 3323403;
 9
10 void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
11 {
12     if(b == 0)
13     {
14         x = 1, y = 0;
15         return ;
16     }
17     else
18     {
19         ll x1, y1;
20         exgcd(b, a % b, x1, y1);
21         x = y1;
22         y = x1 - (a / b) * y1;
23     }
24 }
25
26 ll solve(ll n)
27 {
28     ll ans = (n % mod * n % mod) % mod;
29     ll L = 1, R;
30     for(L; L <= n; L = R + 1)
31     {
32         int k = n / L;
33         if(!k)
34         {
35             R = n;
36         }
37         else
38         {
39             R = n / k;
40         }
41         ans = (ans - (R - L + 1) * (L + R) / 2 % mod * k % mod + mod) % mod;
42     }
43     return ans;
44 }
45
46 ll get(ll n)
47 {
48     return n * (n + 1) % mod * (n<<1|1) % mod * inv % mod;
49 }
50
51 int main()
52 {
53     //exgcd(6, mod, x, y);  //x就是6在mod下的逆元
54     ll n, m;
55     cin >> n >> m;
56     ll ans1, ans2, ans3, ans = solve(n) * solve(m) % mod;
57     if(n < m) swap(n, m);
58     ll L, R;
59     for(L = 1; L <= m; L = R + 1)
60     {
61         R = Min(n/(n/L), m/(m/L));
62         ans1 = (n*m % mod *(R - L + 1)) % mod;
63         ans2 = ((n/L) * m % mod + (m/L) * n % mod) % mod * ((R - L + 1) * (L + R) / 2 % mod) % mod;
64         ans3 = ((n/L) * (m/L) % mod * (get(R) - get(L - 1) + mod) % mod )% mod;
65         ans = ((ans - (ans1 + ans3 - ans2) ) % mod + mod) % mod;
66     }
67     printf("%lld\n", ans%mod);
68     return 0;
69 }