【ZJOI2019】线段树(线段树 & dp)
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Solution
很玄妙的一道题,考察了对线段树较本质的理解 然而我并不会这个所谓最可做的题
首先,虽然题目很复杂,好像每个点的标记变化都很玄学,但是我们可以深入挖一挖性质。
假设我们现在的总区间为 \([1, 16]\),现在执行了修改 \(\text{M}\small\text{ODIFY}\)\([4, 10]\),那么线段树上的结点状况如下:
根据各个结点的性质我们将其分类。
- Type 1:未标记,与询问区间半覆盖,这些结点上的标记会全部被 \(\text P\small\text{USHDOWN}\)。
- Type 2:用红色标记,与询问区间全覆盖,恰好停止向下访问的结点,会在此处直接打标记走人。
- Type 3:用绿色标记,与询问区间无交,但可以得到来自 Type 1 \(\text P\small\text{USHDOWN}\) 而来的标记。
- Type 4:用橙色标记,与询问区间全覆盖,但无法被访问到。
- Type 5:用蓝色标记,与询问区间无交,同时也得不到 \(\text P\small\text{USHDOWN}\) 而来的标记。
注意到性质相同的结点可以相同处理,这便是我们分类的意义所在。
接下来考虑一个 dp。我们必然不能把线段树真的拿去复制,于是直接在一个线段树上搞。
很容易想到的一个状态是,\(f_i(x)\) 表示在第 \(i\) 次 \(\text{M}\small\text{ODIFY}\) 之后,所有线段树中,位置 \(x\) 上有 tag 的线段树有几棵。
但是这样是不够的:Type 3 的转移需要视其线段树上祖先的 tag 情况而定。
于是再设 \(g_i(x)\) 为第 \(i\) 次 \(\text{M}\small\text{ODIFY}\) 之后,所有线段树中,\(x\to 1\) (祖先)的路径上不存在任何一个 tag 的线段树有几棵。
这样一来 Type 3 的问题自然解决了。
根据结点的 Type 进行分类讨论,设计转移:
- Type 1:
- 当前这个位置修改后必不可能存在标记,因为不管之前有没有都将被 \(\text P\small\text{USHDOWN}\)。
- \(f_i(x) \leftarrow f_{i-1}(x)\)
- \(g_i(x)\leftarrow g_{i-1}(x) + 2^{i-1}\)
- Type 2:
- 当前这个位置修改后必定存在标记,因为我们打 tag 打的就是这。
- \(f_i(x)\leftarrow f_{i-1}(x) + 2^{i-1}\)
- \(g_i(x)\leftarrow g_{i-1}(x)\)
- Type 3:
- 这里到底会不会有标记,还得看上头有没有东西可以传下来。
- 其中共有 \(2^{i-1}-g_{i-1}(x)\) 棵线段树是存在至少一个标记的,只要有一个此处就得的到标记,这些会参与 \(f\) 的转移当中。
- 至于 \(g\) 如何,原先有的还是有,没有的还是没有,该咋样咋样,复制一次刚好就 \(\times 2\)。
- \(f_i(x)\leftarrow f_{i-1}(x)+2^{i-1}-g_{i-1}(x)\)
- \(g_i(x)\leftarrow 2g_{i-1}(x)\)
- Type 4:
- 由于 Type 4 的点在 Type 2 的点之下,而 Type 2 必定有 tag,于是上头不可能没有 tag。
- 这里不会被遍历到,标记状况不会变,该咋样咋样。
- \(f_i(x)\leftarrow 2f_{i-1}(x)\)
- \(g_i(x)\leftarrow g_{i-1}(x)\)
- Type 5:
- 被遗忘的角落,啥都不会变。
- \(f_i(x)\leftarrow 2f_{i-1}(x)\)
- \(g_i(x)\leftarrow 2g_{i-1}(x)\)
于是这题就做完了……吗?
我们发现,Type 1、2、3 的点数都不超过 \(O(\log n)\),这些暴力的话问题也不大,不过 Type 4、5 的点数可以达到难以接受的 \(O(n)\)。
但别忘了,现在我们是在线段树上搞 dp!线段树的标配是什么?懒标记!
既然题面上都这么多标记,那我们 Type 4、5 同样可以打标记,而且只需要维护一个乘法标记就行了。
然后差不多真的就做完了,细节还是挺多的。注意这里空间需要开大一倍,我们比一般线段树多往下更新了一层。
实现的话,只要在伪代码基础上改改就行。
Code
/*
* Author : _Wallace_
* Source : https://www.cnblogs.com/-Wallace-/
* Problem : ZJOI2019 线段树
*/
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const int mod = 998244353;
typedef long long LL;
int n, m;
LL f[N << 3], g[N << 3];
LL tf[N << 3], tg[N << 3]; // multiplication tags
LL sf[N << 3]; // sum of f in a subtree
#define mid ((l + r) >> 1)
#define dirL x << 1, l, mid
#define dirR x << 1 | 1, mid + 1, r
void pushup(int x) {
sf[x] = (sf[x << 1] + sf[x << 1 | 1] + f[x]) % mod;
}
void build(int x, int l, int r) {
f[x] = 0ll, g[x] = 1ll, tf[x] = tg[x] = 1ll, sf[x] = 0ll;
if (l == r) return;
build(dirL), build(dirR), pushup(x);
}
void update_f(int x, LL v) {
(f[x] *= v) %= mod, (sf[x] *= v) %= mod, (tf[x] *= v) %= mod;
}
void update_g(int x, LL v) {
(g[x] *= v) %= mod, (tg[x] *= v) %= mod;
}
void pushdown(int x) {
if (tf[x] != 1ll) {
update_f(x << 1, tf[x]);
update_f(x << 1 | 1, tf[x]);
tf[x] = 1ll;
}
if (tg[x] != 1ll) {
update_g(x << 1, tg[x]);
update_g(x << 1 | 1, tg[x]);
tg[x] = 1ll;
}
}
LL k = 1ll;
void modify(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
pushdown(x);
int lc = x << 1, rc = lc | 1;
if (ql <= l && r <= qr) {
(f[x] += k) %= mod; // type 2
update_f(lc, 2), update_f(rc, 2); // type 4
} else {
(g[x] += k) %= mod; // type 1
if (qr <= mid) {
modify(dirL, ql, qr), pushdown(rc);
(f[rc] += (k - g[rc] + mod) % mod) %= mod; // type 3
(g[rc] *= 2) %= mod; // type 3
update_f(rc << 1, 2), update_f(rc << 1 | 1, 2); // type 5
update_g(rc << 1, 2), update_g(rc << 1 | 1, 2); // type 5
pushup(rc);
} else if (ql > mid) {
modify(dirR, ql, qr), pushdown(lc);
(f[lc] += (k - g[lc] + mod) % mod) %= mod; // type 3
(g[lc] *= 2) %= mod; // type 3
update_f(lc << 1, 2), update_f(lc << 1 | 1, 2); // type 5
update_g(lc << 1, 2), update_g(lc << 1 | 1, 2); // type 5
pushup(lc);
} else {
modify(dirL, ql, qr), modify(dirR, ql, qr);
}
}
pushup(x);
}
#undef mid
signed main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
build(1, 1, n);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int opt, l, r;
scanf("%d", &opt);
if (opt == 1) {
scanf("%d%d", &l, &r);
modify(1, 1, n, l, r);
(k *= 2) %= mod;
}
else printf("%d\n", sf[1]);
}
return 0;
}
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