P1349 广义斐波那契数列

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1349

题目描述

广义的斐波那契数列是指形如an=p*an-1+q*an-2的数列。今给定数列的两系数p和q,以及数列的最前两项a1和a2,另给出两个整数n和m,试求数列的第n项an除以m的余数。

输入输出格式

输入格式:

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a1,a2,n,m,其中在p,q,a1,a2整数范围内,n和m在长整数范围内。

输出格式:

输出包含一行一个整数,即an除以m的余数。

输入输出样例

输入样例#1: 复制

1 1 1 1 10 7
输出样例#1: 复制

6

说明

数列第10项是55,除以7的余数为6。

矩阵快速幂求long long级斐波那契(变形)。

f[n]=a*f[n-1]+b*f[n-2], f[1]=a1,f[2]=a2, MOD=...

得:

其他变形:

1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c;(a,b,c是常数)

2.f(n)=c^n-f(n-1) ;(c是常数)

以及找循环节问题:http://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/25616461

前n项和:

1.当f[1]=1,f[2]=1,f[i]=f[i-1]+f[i-2](i>2)时,

S(n)=f(n+2)-1

2.推广:

本题AC代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX 10
typedef long long ll; ll p,q,MOD;
struct mat{
ll a[MAX][MAX];
}; mat operator *(mat x,mat y) //重载*运算
{
mat ans;
memset(ans.a,,sizeof(ans.a));
for(int i=;i<=;i++){
for(int j=;j<=;j++){
for(int k=;k<=;k++){
ans.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
ans.a[i][j]%=MOD;
}
}
}
return ans;
}
mat qsortMod(mat a,ll n) //矩阵快速幂
{
mat t;
t.a[][]=p;t.a[][]=q; //变式的系数
t.a[][]=;t.a[][]=;
while(n){
if(n&) a=t*a; //矩阵乘法不满足交换律,t在前
n>>=;
t=t*t;
}
return a;
}
int main()
{
ll a1,a2,n;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&q,&a1,&a2,&n,&MOD);
if(n==) printf("%lld\n",a1);
else if(n==) printf("%lld\n",a2);
else{
mat a;
a.a[][]=a2;a.a[][]=;
a.a[][]=a1;a.a[][]=; //数列的前两项
a=qsortMod(a,n-);
printf("%lld\n",a.a[][]);
}
return ;
}

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