洛谷 P3644 [APIO2015]八邻旁之桥（对顶堆维护中位数）

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题意：

一条河将大地分为 \(A,B\) 两个部分。两部分均可视为一根数轴。

有 \(n\) 名工人，第 \(i\) 名的家在 \(x_i\) 区域的 \(a_i\) 位置，公司在 \(y_i\) 区域的 \(b_i\) 位置。

现在你可以建立 \(k\) 座桥，在 \(x\) 位置建立一座桥可以连接 \(A\) 区域的 \(x\) 位置和 \(B\) 区域的 \(x\) 位置，桥长为 \(1\) 个单位长度。

设 \(d_i\) 为第 \(i\) 名工人从家到公司走过的最短距离，求 \(D=d_1+d_2+\dots+d_n\) 的最小值。

\(n \in [1,2\times 10^5],k\in\{1,2\},a_i,b_i \leq 10^9,x_i,y_i \in \{'A','B'\}\)。

一开始看错题了，以为 \(k\) 的数据范围也是 \(10^5\)。。。。。。然后就不愿意继续想下去了。

首先如果家和公司在河同一边那方案肯定是唯一的，直接加上 \(|a_i-b_i|\)。

接下来重点考虑家和公司不在河同一边的情况，假设这些工人 \(d_i\) 的和为 \(D'\)

先从 \(k=1\) 入手，假设我们在 \(p\) 位置建了座桥，那么所有家和公司不在河同一边都必须通过这一座桥，即 \(d_i=|a_i-p|+|b_i-p|+1\)。

\(D'=\sum |a_i-p|+|b_i-p|+1\)

最后那个 \(1\) 显然可以直接处理掉，剩余部分就是一个初一弱智数学问题，直接取中位数所有 \(a_i,b_i\) 就可以了。

接下来考虑 \(k=2\) 的情况。假设我们在 \(p,q\) 位置建了桥。

那么 \(d_i\) 就是从这两座桥上通过所需的距离的较小值，即 \(d_i=\min(|a_i-p|+|b_i-p|,|a_i-q|+|b_i-q|)+1\)。

在 \(k=1\) 的情况中，我们之所以能够把 \(a_i,b_i\) 揉在一起取中位数，是因为它们的贡献互不影响。

但在这种情况下就不能直接取中位数了，因为有个 \(\min\)。

不妨设 \(a_i \leq b_i\)，设 \(f(x)=|a_i-x|+|b_i-x|\)。简单画个图像，由三部分组成，左边是斜率为 \(-2\) 的射线，中间是一段水平线段，右边是斜率为 \(2\) 的射线。图像的对称轴为 \(x=\dfrac{a_i+b_i}{2}\)（梦回课内）

由于对称轴左右两边完全一样并且对称轴左边 \(y\) 随 \(x\) 的增大单调不降，故有：

• 若 \(|\dfrac{a_i+b_i}{2}-p|<|\dfrac{a_i+b_i}{2}-q|\)，那么 \(f(p)\leq f(q)\)。

有了这个结论，本题就简单多了。

把所有工人按 \(\dfrac{a_i+b_i}{2}\) 从小到大排序，那我们肯定是选择离 \(\dfrac{a_i+b_i}{2}\) 较近的那座桥。

不妨设 \(p<q\)，那么所有 \(\dfrac{a_i+b_i}{2}\leq\dfrac{p+q}{2}\) 的工人都会选择 \(p\) 那座桥，剩余的工人会选择 \(q\) 那座桥。

故选择 \(p\) 的工人是原序列的一个前缀，选择 \(q\) 的工人是原序列的一个后缀。

枚举断点 \(i\)，\([1,i]\) 的工人选择桥梁 \(p\)，\([i+1,n]\) 的工人选择桥梁 \(q\)。

断点两边是互相独立的。这时候我们又可以把绝对值拆开，于是我们又回到了第一问。

于是题目变为如何快速求出每个前缀的中位数，有 DS 味儿了，稍微一想就可以想到平衡树（

但稍微想一想就发现，其实根本不用平衡树。可以用两个堆来维护，建一个大根堆维护前一半的值，再建一个小根堆维护后一半的值。每次新插入一个值，就将它插入到对应的部分中，然后通过微调使两部分平衡。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fz(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ffe(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a)
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5+5;
struct solver{
	multiset<int> st1,st2;
	ll sum1=0,sum2=0;
	void insert(int a){
		if(st1.empty()){
			st1.insert(a);sum1+=a;
		} else {
			int x=*st1.rbegin();
			if(a<=x) sum1+=a,st1.insert(a);
			else sum2+=a,st2.insert(a);
			int cnt=(st1.size()+st2.size()+1)/2;
			while(st1.size()>cnt){int v=*st1.rbegin();sum1-=v;sum2+=v;st1.erase(st1.find(v));st2.insert(v);}
			while(st1.size()<cnt){int v=*st2.begin();sum2-=v;sum1+=v;st2.erase(st2.find(v));st1.insert(v);}
		}
	}
	ll query(){
		if(st1.empty()) return 0;
		int cnt=(st1.size()+st2.size()+1)/2,x=*st1.rbegin();
		return 1ll*cnt*x-sum1+sum2-1ll*(st1.size()+st2.size()-cnt)*x;
	}
} x1,x2;
int n,k,m;
struct data{
	int a,b;
	friend bool operator <(data x,data y){
		return x.a+x.b<y.a+y.b;
	}
} f[MAXN];
ll sum=0;
ll pre[MAXN],suf[MAXN];
int main(){
	scanf("%d%d",&k,&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		char x,y;int a,b;cin>>x>>a>>y>>b;
		if(x==y) sum+=abs(a-b);
		else f[++m].a=a,f[m].b=b,sum++;
	}
	if(k==1){
		for(int i=1;i<=m;i++) x1.insert(f[i].a),x1.insert(f[i].b);
		printf("%lld\n",x1.query()+sum);
	} else {
		sort(f+1,f+m+1);
		for(int i=1;i<=m;i++) x1.insert(f[i].a),x1.insert(f[i].b),pre[i]=x1.query();
		for(int i=m;i;i--) x2.insert(f[i].a),x2.insert(f[i].b),suf[i]=x2.query();
		ll mn=1e18;
		for(int i=1;i<=m+1;i++) mn=min(mn,pre[i-1]+suf[i]);
		printf("%lld\n",mn+sum);
	}
	return 0;
}