Neville 插值方法
简介
wikipedia: Neville's method
在数学上,Neville 算法是一种计算插值多项式方法,由数学家Eric Harold Neville提出。由给定的n+1个节点,存在一个唯一的幂次≤n的多项式存在,并且通过给定点。
算法
给定n+1个节点及其对应函数值 \((x_i, y_i)\),假设 \(P_{i,j}\) 表示 \(j-i\) 阶多项式,并且满足通过节点 \((x_k, y_k) \quad k =i, i+1, \cdots, j\)。\(P_{i,j}\) 满足以下迭代关系
\begin{aligned}
& p_{i,i}(x) = y_i \cr
& P_{i,j}(x) = \frac{(x_j - x)p_{i,j-1}(x) + (x - x_i)p_{i+1,j}(x)}{x_j - x_i}, \quad 0\le i\le j \le n
\end{aligned}
\end{eqnarray}\]
以n=4的节点举例,其迭代过程为
\begin{aligned}
& p_{1,1}(x) = y_1, \cr
& p_{2,2}(x) = y_2, p_{1,2}(x), \cr
& p_{3,3}(x) = y_3, p_{2,3}(x), p_{1,3}(x),\cr
& p_{4,4}(x) = y_4, p_{3,4}(x), p_{2,4}(x), p_{1,4}(x)\cr
\end{aligned}
\end{eqnarray}\]
代码
伪代码
- 由于计算插值点为一向量,为避免过多层循环嵌套,将每个 \(P_{i,j}\) 都改写为向量形式,各元素分别储存多项式在插值点 \(x_0\) 处函数值。
- 只有每次当一列 \(P_{i,j}\) 计算完后,才能利用迭代公式计算下一列 \(P_{i,j}\) 多项式,因此外层循环为计算每列 \(P_{i,j}\) 多项式。
- 每列 \(P_{i,j}\) 个数是逐渐减少的,最开始有n个多项式,最终循环只有一个。
可将矩阵P[nRow,nCol]用于存储多项式 \(P_{i,j}(x)\)。其中每行为 \(P_{i,j}(x_k)\) 在 nCol 个插值点\(x_k\)处函数值。每次外层循环 \(P_{i,j}(x)\) 个数减少,此时从最后一行开始舍弃,每次只循环
for irow = 1: (nRow - icol) %
\(x_i\)与\(x_j\)分别用变量x1与x2代替。迭代公式可表示为
for icol = 1:nRow - 1
for irow = 1: (nRow - icol) %
x1 = nodes(irow); x2 = nodes(irow + icol);
P(irow, :) = ( (x2 - x0).*P(irow, :) + (x0 - x1 ).*P(irow+1, :) )./( x2 - x1 );
end% for
end% for
最终完整代码为
function evalPol = f1300000_Neville(x0, nodes, fnodes)
% Implement Neville's algorithm to evaluate interpolation polynomial at x0
% Input:
% x0 - the point where we want to evaluate the polynomial
% nodes - vector containing the interpolation nodes
% fnodes - vector containing the values of the function
% Output:
% evalPol - vector containing the value at x0 of the different
% the interpolating polynomials
if iscolumn(x0)
x0 = x0'; % transfer to row vector
end
if isrow(fnodes)
fnodes = fnodes';
end
nCol = length(x0);
nRow = length(nodes);
% P = zeros(nRow, nCol);
P = repmat(fnodes, 1, nCol);
for icol = 1:nRow - 1
for irow = 1: (nRow - icol) %
x1 = nodes(irow); x2 = nodes(irow + icol);
P(irow, :) = ( (x2 - x0).*P(irow, :) + (x0 - x1 ).*P(irow+1, :) )./( x2 - x1 );
end% for
end% for
evalPol = P(1,:);
end
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