0.Formulation of the RANS equations [1]

不可压缩流体控制方程

\[\begin{array}{l l}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \cr
\frac{Du}{Dt}-fv=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial z} N_z \frac{\partial u}{\partial z} + N_h\Delta u \cr
\frac{Dv}{Dt}+fu=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial }{\partial z} N_z \frac{\partial v}{\partial z} + N_h\Delta v \cr
\frac{Dw}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g+\frac{\partial }{\partial z} N_z \frac{\partial w}{\partial z} + N_h\Delta w \cr
\end{array}\]

其中\(N_z\)为垂向涡粘系数,\(N_h\)为水平涡粘系数,分子粘性系数已忽略。

1.Boussinesq approximation

Boussinesq 近似假定密度在参考密度附近变化不大,即

\[\rho(\vec{x},t) = \rho_0 + \rho'(\vec{x},t)
\]

将控制方程内除了重力之外,所有密度替换为参考密度\(\rho_0\),即

\[\begin{array}{l l}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \cr
\rho_0\frac{Du}{Dt}-fv=-\frac{\partial p}{\partial x}+\rho_0(\frac{\partial }{\partial z} N_z \frac{\partial u}{\partial z} + N_h\Delta u) \cr
\rho_0\frac{Dv}{Dt}+fu=-\frac{\partial p}{\partial y}+\rho_0(\frac{\partial }{\partial z} N_z \frac{\partial v}{\partial z} + N_h\Delta v) \cr
\rho_0\frac{Dw}{Dt}=-\frac{\partial p}{\partial z}-\rho g+\rho_0(\frac{\partial }{\partial z} N_z \frac{\partial w}{\partial z} + N_h\Delta w) \cr
\end{array}\]

2.Hydrostic approximation

静压假定包括

  1. 忽略垂向粘性
  2. 忽略垂向加速度

此时,垂向方程变为

\[\frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g
\]

注意,此时密度并非为参考密度,而是水体总密度。将动量方程沿垂向进行积分,得

\[p(x,y,z=z_0) = p_a(x,y) + \int_{z=z_0}^{\zeta(x,y)}\rho gdz
\]

\(p_a(x,y)\)为自由表面处大气压强。

将\(\rho(\vec{x},t) = \rho_0 + \rho'(\vec{x},t)\)代入方程,便可得到压力表达式

\[p(x,y,z=z_0) = p_a(x,y) + (-\rho_0gz_0 + \rho_0g\zeta(x,y) + \int_{z=z_0}^{\zeta(x,y)}\rho' gdz)
\]

其中三项分别为正压项,动压项与斜压项。其中\(\rho'(x,y,z,t)\)根据状态方程求得。

Appendix A.Mode Splitting [1]

内外模分离方法主要目的是解决海洋模拟中水平计算最大时间步和垂向计算时间步不匹配的问题。

为了模拟表面重力波,根据CFL准则,最大时间步应满足

\[T_h\le \frac{\Delta x}{\sqrt{2gH}}
\]

而垂向计算所需时间步仅需满足

\[T_z\le \frac{h_z^2}{2N_z}
\]

一般情况下,T_z大约为T_z的10倍以上(FVCOM中推荐取10)。

因此,内外模分离方法主要是解决海洋模拟问题计算过程中,水平尺度和垂直尺度计算时间步不匹配问题。

在水平模拟过程中,由于表面重力波在沿水深方向变化不大,因此可采用垂向积分方程

\[\begin{array}{l l}
\frac{\partial D\bar{u}}{\partial x} + \frac{\partial D\bar{v}}{\partial y} + \frac{\partial \zeta}{\partial t}=0 \cr
\frac{\partial \bar{u}}{\partial t}+A_x -fv=-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p_a}{\partial x} -g \frac{\partial \zeta}{\partial x} -B_x + C_x+ N_h\Delta \bar{u} \cr
\frac{\partial \bar{v}}{\partial t}+A_y -fv=-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p_a}{\partial y} -g \frac{\partial \zeta}{\partial y} -B_y + C_y + N_h\Delta \bar{v} \cr
\end{array}\]

其中\(D=H+\zeta\)为总水深。

求解内模时将各层流速时将速度分解为

\[u = \bar{u}+u' ,\quad v = \bar{v}+v'
\]

将原始动量方程与垂向积分动量方程作差,可得

\[\begin{array}{l l}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 \cr
\frac{\partial u'}{\partial t}+ u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z} - A_x -fv' = B_x - \frac{g}{\rho_0}\frac{\partial}{\partial x}\int_z^{\zeta}\rho'dz -C_x + N_h\Delta u' \cr
\frac{\partial v'}{\partial t}+ u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z} - A_y +fu' = B_y - \frac{g}{\rho_0}\frac{\partial}{\partial y}\int_z^{\zeta}\rho'dz -C_x + N_h\Delta v' \cr
\end{array}\]

根据三个方程,便可求解各层水体流速\(u,v,w\)

Reference

[1] Kowalik Z, Murty T S. Numerical modeling of ocean dynamics[M]. World Scientific, 1993.

Boussinesq 近似及静压假定,内外模分离方法(附录A)的更多相关文章

  1. CTF中图片隐藏文件分离方法

    CTF中图片隐藏文件分离方法   0x01 分析 这里我们以图片为载体,给了这样的一样图片:2.jpg 首先我们需要对图片进行分析,这里我们需要用到kali里面的一个工具 binwalk ,想要了解这 ...

  2. AsyncTask内的各个方法调用顺序

    |- AsyncTask内的各个方法调用顺序:|- 首先,用户调用execute方法,启动AsyncTask .然后在execute方法中:|- 首先调用onPreExecute方法,执行初始化操作. ...

  3. [C#解惑] #1 在构造函数内调用虚方法

    谜题 在C#中,用virtual关键字修饰的方法(属性.事件)称为虚方法(属性.事件),表示该方法可以由派生类重写(override).虚方法是.NET中的重要概念,可以说在某种程度上,虚方法使得多态 ...

  4. 在String()构造器不存在的情况下自定义一个MyString()函数,实现如下内建String()方法和属性:

    在String()构造器不存在的情况下自定义一个MyString()函数,实现如下内建String()方法和属性: var s = new MyString("hello"); s ...

  5. Flex Array内置排序方法的使用

    在Array类中,提供内置的排序方法.排序是在软件开发的过程中,经常遇到的问题.通过这些内置的方法,可以快速轻便的进行排序操作. Array类提供sort方法对Array实例进行排序.sort方法没有 ...

  6. PHP文章关键词相似短尾长尾内链替换方法介绍

    对于互联网程序来说,对文字正文内容做关键词内链优化是常态的工作之一.一方面有人手动来处理关键词内链,这个效率太低:一方面通过程序自动添加内链,这样子也省事而且便于管理: 今天我们探讨的就是给自动给文章 ...

  7. day29 类中的内置函数方法 __str__ __repr__ __call__ isinstance() issubclass()

    __str__()__repr__()__len__() str() 转字符串repr() 让字符原形毕露的方法len() 计算长度 内置的方法很多,但是并不是全部都在object中,比如len(), ...

  8. python - 类的内置 attr 方法

    类的内置 attr 方法 #类的内置 attr 方法: # __getattr__ # __setattr__ # __delattr__ # __getattr__ #到调用一个类不存在数参数时,将 ...

  9. Python3内置字符串方法详解

    官网文档地址:https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html#string-methods基于 Python 3.X 版本 str.capitalize ...

随机推荐

  1. '\r'(回车符),'\n'(换行符)与"\r\n"

    一.'\n','\r'和"\r\n" 回车\r本义是光标重新回到本行开头,r的英文return,控制字符可以写成CR,即Carriage Return(回车,carriage有&q ...

  2. 【二食堂】Beta - 项目展示

    项目展示 1. 团队介绍 二食堂很难排队 姓名 介绍 职务 刘享 热爱游戏,尤其是RPG和metrovinia类的游戏. 会C/C++, python, java. 后端 左正 一个普通的大学生,Py ...

  3. C语言单片机项目实战超声波雷达测距

    本实验是基于MSP430利用HC-SR04超声波传感器进行测距,测距范围是3-65cm,讲得到的数据显示在LCD 1602液晶屏上. 模块工作原理如下 (1)采用 IO 触发测距,给至少 10us 的 ...

  4. FreeRTOS学习笔记——FreeRTOS 任务基础知识

    RTOS 系统的核心就是任务管理,FreeRTOS 也不例外,而且大多数学习RTOS 系统的工程师或者学生主要就是为了使用RTOS 的多任务处理功能,初步上手RTOS 系统首先必须掌握的也是任务的创建 ...

  5. Linux入门所必备的Linux命令和C语言基础

    文件和目录(底部有视频资料) cd /home 进入 '/ home' 目录' cd - 返回上一级目录 cd -/- 返回上两级目录 cd 进入个人的主目录 cd ~user1 进入个人的主目录 c ...

  6. Ubuntu mysql安装与使用

    Ubuntu 下安装 mysql 运行下面的shell代码 #安装mysql sudo apt-get -y install mysql-server sudo apt-get -y install ...

  7. DeWeb配置SSL的方法,未亲测,供参考

    DeWeb配置SSL的方法1.购买域名的服务商申明免费的SSL证书,然后证书类型下载选择Nginx2.下载Nginx,http://nginx.org/download/nginx-1.20.0.zi ...

  8. CANN5.0黑科技解密 | 别眨眼!缩小隧道,让你的AI模型“身轻如燕”!

    摘要:CANN作为释放昇腾硬件算力的关键平台,通过深耕先进的模型压缩技术,聚力打造AMCT模型压缩工具,在保证模型精度前提下,不遗余力地降低模型的存储空间和计算量. 随着深度学习的发展,推理模型巨大的 ...

  9. Device /dev/sdb excluded by a filter

    原因是添加的磁盘是在另一个虚拟机中新建的,已经有了分区表,现在的虚拟机并不能识别磁盘的分区表,运行parted命令重做分区表,中途需要输入三次命令(mklabel msdos -> yes-&g ...

  10. python编程中的流程控制

    内容概要 成员运算 身份运算 流程控制 详细 1.成员运算 定义:判断某个个体在不在某个群体内 关键词:in(在) /// not in(不在) 例: num_list = [1, 2, 3, 4, ...