【洛谷P2261】余数求和

题目大意：给定 n, k，求\(\sum\limits_{i=1}^n k\%n\) 的值。

题解：除法分块思想的应用。

\(x\%y=x-y\lfloor {x\over y}\rfloor\)，因此只需快速求出 \(\sum\limits_{i=1}^n {k\over i}\) 即可。

引理：\(i\in [1,k], {k\over i}\) 最多只有不超过 \(2\sqrt k\) 个不同的值。（分情况讨论即可得出）

现在，只需找出每一段的起点和终点即可根据等差数列求和的方式来在 \(O(\sqrt(n))\) 的时间内求得答案。

引理：\(i\in [x,\lfloor k/{\lfloor k/x \rfloor}\rfloor]\) 时，\(k \over i\) 的值都相等。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long n,k,ans;

int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	ans=n*k;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=k/l?min(k/(k/l),n):n;
		ans-=(k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}