luogu4360 锯木厂选址 （斜率优化dp）

设：

　　sw[i]为1..i的w之和

　　sd[i]为1到i的距离

　　cost[i]为把第一个锯木厂建在i带来的花费

　　all[i,j]为把i..j所有木头运到j所需要的花费

所以$all[i,j]=cost[j]-cost[i-1]-sw[i-1]*(sd[j]-sd[i-1])$

我们设第2个锯木厂建在i所带来的最小花费为f[i]，则$f[i]=min\{cost[j]+all[j+1,i]+all[j+1,n+1]\}$

把all化掉，最终变成$f[i]=min\{cost[n+1]-sw[j]*(sd[i]-sd[j])-sw[i]*(sd[n+1]-sd[i])\}$

这样的话，如果直接做，复杂度是$O(n^2)$的

考虑优化，我们尝试比较在i固定时，f[j1]和f[j2]的值（j1<j2）,$f[j1]-f[j2]=sw[j2]*(sd[i]-sd[j2])-sw[j1]*(sd[i]-sd[j1])$

先假设$f[j1]-f[j2]<0$，也就是j1是较优解

那么可以得到$\frac{sw[j1]*sd[j1]-sw[j2]*sd[j2]}{sw[j1]-sw[j2]}>sd[i]$

发现右端随i单增，而且左端呈现斜率的形式

那么也就是说，如果在某次i++以后，某两个j1,j2的斜率<sd[i]，就可以确定j1永远不会是最优解了

那么可以维护一个队列，保证j1<j2<j3<... ，而且j1j2 ,j2j3 ,j3j4两两间的斜率递增

这样在每次i++的时候，先从队头向后把斜率<sd[i]的踢掉，之后的队头就是这次i的最优值

然后在统计完i的答案以后，i也可以作为第一个伐木厂了，就把它按照性质从队尾插进去

　　也就是说，对于队尾的两个元素t-1和t，若t.i间斜率>t-1.t间斜率，直接把i插到队尾；

　　　　若不是，则踢掉t然后继续做（此时的t绝对不会是最优解了，因为t-1与i间斜率<t-1与t间斜率，则要么t-1比t和i都优，要么sd[i]先超过t-1与i间的斜率，然后i会优于t-1和t）

队列里只剩一个点的话就谈不来斜率了..就不做了...

然后做的时候可以把比较斜率的除法改成乘法，防止出锅

每个点最多进队一次，出队一次，所以复杂度是O(n)的

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<ctime>
 #define LL long long int
 using namespace std;
 const int maxn=;
 
 LL rd(){
    LL x=;char c=getchar();int neg=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-') neg=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<='') x=x*+c-'',c=getchar();
    return x*neg;
 }
 
 int N,w[maxn],d[maxn];
 LL sw[maxn],sd[maxn],cost;
 int q[maxn],head,tail;
 
 inline bool judge1(int j1,int j2,int i){return sw[j1]*sd[j1]-sw[j2]*sd[j2]<sd[i]*(sw[j1]-sw[j2]);}
 inline bool judge2(int j1,int j2,int j3){return (sw[j1]*sd[j1]-sw[j2]*sd[j2])*(sw[j2]-sw[j3])<(sw[j2]*sd[j2]-sw[j3]*sd[j3])*(sw[j1]-sw[j2]);}
 inline int get(int i,int j){return cost-sw[j]*(sd[i]-sd[j])-sw[i]*(sd[N+]-sd[i]);}
 
 int main(){
     int i,j,k;
     N=rd();
     for(i=;i<=N;i++){
         w[i]=rd(),d[i]=rd();
         sw[i]=sw[i-]+w[i];sd[i]=sd[i-]+d[i-];
         cost+=sw[i-]*d[i-];
     }cost+=sw[N]*d[N];sd[N+]=sd[N]+d[N];
     head=tail=;q[]=;
     int ans=2e9+;
     for(i=;i<=N;i++){
         while(head<tail&&(!judge1(q[head],q[head+],i))) head++;
         ans=min(ans,get(i,q[head]));
         while(tail>head&&(!judge2(q[tail-],q[tail],i))) tail--;
         q[++tail]=i;
     }printf("%d\n",ans);
 
     return ;
 }