bzoj 2339: [HNOI2011]卡农

Description

Solution

比较难想....

我们先考虑去掉无序的这个条件,改为有序,最后除 \(m!\) 即可

设 \(f[i]\) 表示前\(i\)个合法集合的方案数

明确一点:

如果前\(i-1\)个集合已经确定,并且前\(i\)个是合法的,那么第\(i\)就是确定的,所以是一一对应的关系,如果不考虑重复和空集的情况,那么总方案数就是 \(A_{2^{n}-1}^{i-1}\)

考虑去掉不合法的:

1.当前集合为空集,方案数为 \(f[i-1]\)

2.有两个集合相同,那么去掉这两个集合的方案数是 \(f[i-2]\),由于重复的那个位置可以取 \(i-1\) 个位置,且只与这个集合重复,而不与其他集合重复,所以两个集合可以取 \(2^{n}-1-(i-2)\) 种

然后直接递推即可,\(log\)求逆的话,复杂度就是 \(O(n*logn)\) 的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mod=1e8+7;
int qm(int x,int k){
  int sum=1;
  while(k){
    if(k&1)sum=1ll*sum*x%mod;
    x=1ll*x*x%mod;k>>=1;
  }
  return sum;
}
int f[N],Fac[N];
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int n,m,x,t,jc=1;
  cin>>n>>m;
  t=qm(2,n);Fac[1]=x=(t-1+mod)%mod;
  Fac[0]=1;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    jc=1ll*i*jc%mod,Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*x%mod,x=(x-1+mod)%mod;
  f[0]=1;f[1]=0;
  for(int i=2;i<=m;i++){
    f[i]=Fac[i-1];
    f[i]=(f[i]-f[i-1]-1ll*f[i-2]*(i-1)%mod*(t-1-(i-2)))%mod;
  }
  if(f[m]<0)f[m]+=mod;
  f[m]=1ll*f[m]*qm(jc,mod-2)%mod;
  cout<<f[m]<<endl;
  return 0;
}