RMQ算法 （ST算法）

 概述：

　　RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。对于一次查询，可以暴力地O(n)，但是当查询次数很多的时候，这样的暴力就无法进行了。这时我们可以通过RMQ算法来解决这个问题。

RMQ(ST)：（关于学习RMQ的博客：框架即讲解比较详细 ， 具体代码比较好）

　　ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

　　首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

 int vec[MAX_N];
 int dp[MAX_N][];
 void ST(int N)
 {
     for(int i=;i<=N;i++) dp[i][] = vec[i];
     for(int j=;(<<j) <= N;j++)
     {
         for(int i=;i+(<<j)-<=N;i++)
         {
             dp1[i][j] = max(dp[i][j-],dp[i+(<<j-)][j-]); //由于移位操作的优先度低，1<<j-1 = 1<<(j-1);
         }
     }
 }
 int RMQ(int l,int r)
 {
     int k = ;
     while((<<k+) <= r-l+) k++;
     return max(dp1[l][k],dp1[r-(<<k)+][k]);
 }

POJ-2364

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int MAX_N = 5e4+;
 const int INF = 1e9+;
 int vec[MAX_N];
 int dp1[MAX_N][];
 int dp2[MAX_N][];
 void ST(int N)
 {
     for(int i=;i<=N;i++) dp1[i][] = dp2[i][] = vec[i];
     for(int j=;(<<j)<=N;j++)
     {
         for(int i=;i+(<<j)- <= N;i++)
         {
             dp1[i][j] = max(dp1[i][j-],dp1[i+(<<j-)][j-]);
             dp2[i][j] = min(dp2[i][j-],dp2[i+(<<j-)][j-]);
         }
     }
 }
 int RMQ(int l,int r)
 {
     int k = ;
     while((<<k+) <= r-l+) k++;
     return max(dp1[l][k],dp1[r-(<<k)+][k]) - min(dp2[l][k],dp2[r-(<<k)+][k]);
 }
 int main()
 {
     int N,M,T;
     while(cin>>N>>M)
     {
         for(int i=;i<=N;i++)
         {
             scanf("%d",&vec[i]);
         }
         ST(N);
         for(int i=;i<M;i++)
         {
             int l,r;
             scanf("%d%d",&l,&r);
             int ans = RMQ(l,r);
             printf("%d\n",ans);
         }
     }
     return ;
 }