poj1006Biorhythms(同余定理)

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问题描述

     人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，

人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。

现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，

要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

问题分析

      首先我们要知道，任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期。假设一年的第N天达到峰值，则下次达到峰值的时

间为N+Tk(T是周期，k是任意正整数)。所以，三个峰值同时出现的那一天(S)应满足

      S = N1 + T1*k1 = N2 + T2*k2 = N3 + T3*k3

N1,N2,N3分别为为体力，情感，智力出现峰值的日期， T1，T2,T3分别为体力，情感，智力周期。 

我们需要求出k1,k2,k3三个非负整数使上面的等式成立。

     想直接求出k1,k2,k3貌似很难，但是我们的目的是求出S， 可以考虑从结果逆推。

根据上面的等式，S满足三个要求：除以T1余数为N1，除以T2余数为N2，除以T3余数为N3。

这样我们就把问题转化为求一个最小数，该数除以T1余N1，除以T2余N2,除以T3余N3。

这就是著名的中国剩余定理，我们的老祖宗在几千年前已经对这个问题想出了一个精妙的解法。

依据此解法的算法，时间复杂度可达到O(1)。下面就介绍一下中国剩余定理。

中国剩余定理介绍

     在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），

七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

具体解法分三步：

1. 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。

2.   用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

3.用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

中国剩余定理分析

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1. 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2. 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3. 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1. n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
2. n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3. n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个

除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。

在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，

而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,

也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？

我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。

道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

总结

   经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：

1. 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
2. 如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

POJ1006其实不能算是一道编程难题，只是里面用到了剩余定理。
   首先说一下数学上的计算。具体的资料可以在网上搜索一下“剩余定理”或者是“韩信点兵”。

因为23、28、33这3个数互质，

那么由剩余定理有：
      R1为28*33*a%23==1的最小的正整数（a为正整数），即a=6,R1=5544
      R2为23*33*b%28==1的最小的正整数（b为正整数），即b=19，R2=14421
      R3为23*28*c%33==1的最小的正整数（c为正整数），即c=2，R3=1288

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 int main()
 {
     int p, e, i, d;
     int test = ;
     while (scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF)
     {
         if (p == - && e == - && i == - && d == -)
             break;
         int sum = ( * p + e *  +  * i) % ;
         while (sum <= d)
             sum += ;
         printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", test++, sum - d);
     }
     return ;
 }