BZOJ 1396 识别子串 (后缀自动机、线段树)

手动博客搬家: 本文发表于20181221 00:58:26, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/85150962

嗯，以后博客内容就这样规定吧：

近期，以下三类题目做完之后必须写题解，其他的任意

数学、字符串、网络流

好了进入正题

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1396

题目大意:

给定长度为\(n\)的字符串\(a\), 对每一个\(i\in [1,n]\)求包含\(i\)这个位置的最短的只出现一次的子串。

题解:

这道题目充分暴露了我SB的事实。

讲个笑话：以下两个问题我各想了半小时都没有想出来。
1. 如何求对于SAM中Right集合大小为1的点求出Right集合。
2. 如何支持插入一条先斜率为-1下降再平的直线，最后求每个位置上的最小值。

建出\(a\)串的\(SAM\). 求出每一个节点的\(Right\)集合大小即为其所代表子串的出现次数。

对于每一个\(Right\)集合大小为\(1\)的状态，我们求出它的\(Right\)集合，也就是这个串具体出现在哪个位置。怎么做？很简单，直接插入SAM的时候记录每个状态在第几次被插入的即为出现位置。有性质：\(Right\)集合大小为\(1\)当且仅当这个点在\(Parent\)树上是叶子节点。 简单吧，这都想不出来，我真是个大SB。

然后我们考虑它对答案的贡献：设\(maxlen[i], minlen[i]\)分别表示\(i\)代表子串的最大最小长度\(right[i]\)表示\(i\)的出现位置右端点，画一画可以发现，对于\([right[i]-minlen[i]+1,right[i]]\)这段区间，我们用\(minlen[i]\)更新每一个点原答案（这是为了保证出现次数为\(1\)）；对于\([right[i]-maxlen[i]+1,right[i]-minlen[i]]\)这段区间中下标为\(k\)的点，我们用\(right[i]+maxlen[i]-k\)更新\(k\)的答案（这是为了在出现次数为\(1\)的基础上保证这个右端点为\(right\)的子串跨过\(i\)）。

emm, 这样说可能比较难以理解，举个例子：

假设当前节点\(right=7, maxlen=5, minlen=3\)

则它对答案的贡献是: (从左往右是\(3,4,5,6,7\))\(5,4,3,3,3\)

对于\(5,6,7\)两格，当串长为\(3\)时该串为\(a[5,7]\)恰好能够覆盖\(5,6,7\)三个点。若串长为\(2\)则小于\(minlen\), 跳到了\(SAM\)别的节点上，不合法。

对于\(4\)格，当串长为\(3\)时该串为\(a[5,7]\), 虽然满足出现了一次，但是这个串太短不足以覆盖\(4\)这个点。因此扩大串长至\(4\), 该串为\(a[4,7]\)

对于\(3\)格同理扩大串长至\(5\)

然后推一波就可以得到刚才的式子。

好了现在我们已经把问题转化成了：每次给一个区间做上述奇奇怪怪的update, 最后询问每个点的值。

我们先观察：“奇奇怪怪的update”, 实际上是要支持区间插入一条斜率为\(-1\)或\(0\)的直线，最后求每个点上直线的最低位置。看上去最暴力的想法是李超树直接上，但是无敌的Creed_巨佬告诉我我自闭了。

于是就只好继续想简单做法，发现可以根据斜率为\(-1,0\)的优美性质搞个在线线段树，最后口胡完了发现就是个整数版李超树……

最后，不知道为啥我硬想\(1h\)想不出来，然后看题解，看了几个字，发现这东西巨蠢……

维护两棵线段树，分别表示斜率为\(0\)和\(-1\)的，取\(\min\)即可

看吧，我果然是个SB

这个做法完美地利用了这个实际情景中的离线性质。

然后我们就可以开心地去写两棵线段树啦。

等等……诶代码量有点大？？

我们考虑斜率为\(-1\)的直线，如果我们对每一个最终的数值\(a_i\)作变换\(a_i=a_i+i\), 那么斜率为\(-1\)的直线就变成了斜率为\(0\)的！继续用刚才方法维护！

一遍线段树，做完了。（SB退役选手终于自己想出了这道题的一部分）

另外，第一次写标记永久化线段树。在这道题里为了保证常数，个人认为标记永久化会快一些。反正怎么做都可以。

时间复杂度\(O(n\log n)\).

代码实现

//Wrong Coding:
//Forget to return in mdfmin()
//lb = rb-... -> lb = lb-...
//SGT Range is sam.siz<<2 not n<<2
//segtree1.query()... not segtree2
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define llong long long
using namespace std;
const int N = 2e5;
const int S = 26;
const int INF = 1e7;
char a[N+3];
int n;
struct SAM
{
 int len[N+3];
 int fa[N+3];
 int son[N+3][S+3];
 int buc[N+3];
 int oid[N+3];
 int rid[N+3];
 int sz[N+3];
 int siz,lstpos,rtn;
 void init()
 {
  rtn = siz = lstpos = 1;
 }
 void insertstr(char ch,int id)
 {
  int p = lstpos,np; siz++; lstpos = np = siz; len[np] = len[p]+1; sz[np] = 1; rid[np] = id;
  for(; p && son[p][ch]==0; p=fa[p]) {son[p][ch] = np;}
  if(p==0) {fa[np] = rtn;}
  else
  {
   int q = son[p][ch];
   if(len[q]==len[p]+1) {fa[np] = q;}
   else
   {
    siz++; int nq = siz; len[nq] = len[p]+1;
    memcpy(son[nq],son[q],sizeof(son[q]));
    fa[nq] = fa[q]; fa[np] = fa[q] = nq;
    for(; p && son[p][ch]==q; p=fa[p]) {son[p][ch] = nq;}
   }
  }
 }
 void sortnode()
 {
  for(int i=1; i<=siz; i++) buc[len[i]]++;
  for(int i=1; i<=siz; i++) buc[i] += buc[i-1];
  for(int i=siz; i>=1; i--) oid[buc[len[i]]--] = i;
  for(int i=siz; i>=1; i--) {int u = oid[i]; if(fa[u]) sz[fa[u]]+=sz[u];}
 }
} sam;
struct SegmentTree
{
 struct SgTNode
 {
  int tag;
 } sgt[(N<<2)+2];
 void mdfmin(int pos,int le,int ri,int lb,int rb,int val)
 {
  if(lb>rb) return;
  if(le==lb && ri==rb) {sgt[pos].tag = min(sgt[pos].tag,val); return;}
  int mid = (le+ri)>>1;
  if(rb<=mid) mdfmin(pos<<1,le,mid,lb,rb,val);
  else if(lb>mid) mdfmin(pos<<1|1,mid+1,ri,lb,rb,val);
  else {mdfmin(pos<<1,le,mid,lb,mid,val); mdfmin(pos<<1|1,mid+1,ri,mid+1,rb,val);}
 }
 int queryval(int pos,int le,int ri,int lrb)
 {
  if(le==ri) {return sgt[pos].tag;}
  int mid = (le+ri)>>1;
  if(lrb<=mid) return min(queryval(pos<<1,le,mid,lrb),sgt[pos].tag);
  else return min(queryval(pos<<1|1,mid+1,ri,lrb),sgt[pos].tag);
 }
} segtree1,segtree2;
int main()
{
 scanf("%s",a+1); n = strlen(a+1);
 sam.init();
 for(int i=1; i<=n; i++) sam.insertstr(a[i]-96,i);
 for(int i=0; i<=(sam.siz<<2); i++) segtree1.sgt[i].tag = segtree2.sgt[i].tag = INF;
 sam.sortnode();
 for(int i=sam.siz; i>=1; i--)
 {
  if(sam.sz[i]==1)
  {
   int minlen = sam.len[sam.fa[i]]+1,maxlen = sam.len[i];
   int rb = sam.rid[i],lb = rb-minlen+1;
   segtree2.mdfmin(1,1,n,lb,rb,minlen);
   rb = lb-1; lb = lb-(maxlen-minlen);
   segtree1.mdfmin(1,1,n,lb,rb,maxlen+lb);
  }
 }
 for(int i=1; i<=n; i++)
 {
  int ans1 = segtree1.queryval(1,1,n,i)-i,ans2 = segtree2.queryval(1,1,n,i);
  int ans = min(ans1,ans2);
  printf("%d\n",ans);
 }
 return 0;
}
/*
bacaca
*/