σ 代数与测度（measures）

1. definition

• Let A be a collection of subsets（集合的集合体，collection of subsets） of a sample space Ω，A is called σ-field (or σ-algebra)， ifff
  • ϕ∈A
  • if A∈A ⇒ Ac∈A
    
    • ϕc=Ω∈A
  • if Ai∈A, then ∪iAi∈A
    
    • 又由德摩根定律可知，∩iAi∈A

存在 Ω 样本空间上的一个 σ 代数，便构成这样的 pair，(Ω,A) 称为可测度空间。

A 是集合的集合体，所以其内部的元素就是集合，称其为可测集。

由以上可知，

• 最小的 σ 域为 {ϕ,Ω}
• 最大的 σ 域为 Ω 的幂集合（power set）

2. 概率测度

• {Ω,A}：可测度空间；
• {Ω,A,ν}：测度空间；
  
  • 0≤ν(A)≤∞（这里是可以取到 ∞，如果取不到 ∞，总可以求和得到 1，就弱化为 belief）
  • ν(ϕ)=0
  • 可加性；
• {Ω,A,ν} & ν(Ω)=1：概率测度空间，且通常将 ν 记为 P，也即 {Ω,A,P} 称为概率空间；