BZOJ 2440 中山市选2011 全然平方数 二分答案+容斥原理+莫比乌斯反演
题目大意:求第k个无平方因子数是多少(无视原题干。1也是全然平方数那岂不是一个数也送不出去了?
无平方因子数(square-free number),即质因数分解之后全部质因数的次数都为1的数
首先二分答案 问题转化为求x以内有多少个无平方因子数
依据容斥原理可知 对于√x以内的全部质数 x以内的无平方因子数=无需是不论什么质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...
我们回去考虑莫比乌斯函数,我们发现每个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合!
于是我们枚举每个数,假设这个数是奇数个不同质数的乘积,那么mu为负,偶数个则mu为正。否则mu为零
故答案即Σx/(i*i)*mu[i]
大早上起来连线性筛都打不正确我也是醉了。。。
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- #include <iostream>
- #include <algorithm>
- #define M 44723
- using namespace std;
- int mu[M]={0,1},prime[M],tot;
- bool not_prime[M];
- void Linear_Shaker()
- {
- int i,j;
- for(i=2;i<M;i++)
- {
- if(!not_prime[i])
- mu[i]=-1,prime[++tot]=i;
- for(j=1;prime[j]*i<M;j++)
- {
- not_prime[prime[j]*i]=1;
- if(i%prime[j]==0)
- {
- mu[prime[j]*i]=0;
- break;
- }
- mu[prime[j]*i]=-mu[i];
- }
- }
- }
- int Judge(int x)
- {
- int i,re=0;
- for(i=1;i*i<=x;i++)
- re+=x/(i*i)*mu[i];
- return re;
- }
- int Bisection(int k)
- {
- int l=1,r=k<<1;
- while(l+1<r)
- {
- int mid=(l>>1)+(r>>1)+(l&r&1);
- if( Judge(mid)>=k )
- r=mid;
- else
- l=mid;
- }
- if( Judge(l)>=k )
- return l;
- return r;
- }
- int main()
- {
- int T,k;
- Linear_Shaker();
- for(cin>>T;T;T--)
- {
- scanf("%d",&k);
- printf("%d\n",Bisection(k) );
- }
- return 0;
- }
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