【联系】—— Beta 分布与二项分布、共轭分布

1. 伯努利分布与二项分布

• 伯努利分布：Bern(x|μ)=μx(1−μ)1−x，随机变量 x 取值为 0,1，μ 表示取值为 1 的概率；
• 二项分布：Bin(m|N,μ)=(Nm)μm(1−μ)N−m

2. Beta 分布

Beta(μ|a,b) 是对 μ 进行建模；

Beta(μ|a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa−1(1−μ)b−1

3. 共轭分布

以 Beta(μ|a,b) 分布为参数 μ 的先验，二项分布为似然函数，则后验概率（poster）：

p(μ|m,ℓ,a,b)∝μm+a−1(1−μ)ℓ+b−1

进一步，根据 Beta 分布的形式，我们可定义出符合 Beta 分布形式的后验概率形式：

p(μ|m,ℓ,a,b)=Γ(m+a+ℓ+b)Γ(m+a)Γ(ℓ+b)μm+a−1(1−μ)ℓ+b−1