[JLOI2015]装备购买（线性基）

[JLOI2015]装备购买

题目描述

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 nn 件装备，每件装备有 \(m\) 个属性，用向量 \(\mathbf{z_i}\)=\((a_1, \ldots ,a_j, \ldots , a_m)\) 表示 \(1 \leq i \leq n\), \(1 \leq j \leq m\)，每个装备需要花费 \(c_i\) ，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。

严格的定义是，如果脸哥买了 \(\mathbf{z_{i_1}}\), \(\ldots\) , \(\mathbf{z_{i_p}}\) 这 \(p\) 件装备，那么对于任意待决定的 \(\mathbf{z_h}\)​ ，不存在 \(b_1\), \(\ldots ,b_p\) 使得 \(b_1\mathbf{z_{i_1}} + \ldots + b_p\mathbf{z_{i_p}} = \mathbf{z_h}\) ​​ （ \(b_i\)​ 均是实数），那么脸哥就会买 \(\mathbf{z_h}\)​ ，否则 \(\mathbf{z_h}\)​ 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

举个例子， \(\mathbf{z_1}=(1, 2, 3), \ \mathbf{z_2}=(3, 4, 5), \ \mathbf{z_h}=(2, 3, 4)\), \(\ b_1 =\frac{1}{2}, \ b_2 =\frac{1}{2}\)，就有 \(b_1\mathbf{z_1} + b_2\mathbf{z_2} = \mathbf{z_h}\) ，那么如果脸哥买了 \(\mathbf{z_1}\)​ 和 \(\mathbf{z_2}\)​ 就不会再买 \(\mathbf{z_h}\) 了。

脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数 n,m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，其中 \(c_i\) 表示购买第 i 件装备的花费。

输出格式：

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 3

1 2 3

3 4 5

2 3 4

1 1 2

输出样例#1： 复制

2 2

说明

如题目中描述，选择装备 1 装备 2，装备 1 装备 3，装备 2 装备 3 均可，但选择装备 1 和装备 2 的花费最小，为 2。

对于 100% 的数据, 1 <= n;m <= 500; 0 <= aj <= 1000。

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题解

这是一道线性基的原理题。咕咕咕

线性基的思想是由向量来表示的。

也就是说：

存在\(b_1\), \(\ldots ,b_p\) 使得 \(b_1\mathbf{z_{i_1}} + \ldots + b_p\mathbf{z_{i_p}} = \mathbf{z_h}\) ​​ （ \(b_i\)​ 均是实数）

就像物理里面的力的分解一样。

多个不同方向和不同或相同大小的力可以构成另外一个合力。

其实异或只是线性基的另一种oi思想。

我们把向量的每一维看做二进制。只是这里的二进制是一个实数而不只是01序列。那么我们就用高斯消元的思想，不断的把从1到n维度的实数用之前的数去消掉。这样的话，就得到了一个类似而二进制的最高位1的数组的最高位下标就是最高位维度的数组。

是不是就和线性基一样了？

再加一个贪心维护让小价值的拼出大价值的就好了。

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代码

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const double eps=1e-5;
int p[1001],n,m,ans,sum;
struct node{
    int vi;
    double x[1001];
}a[1001];

bool cmp(node a,node b){
    return a.vi<b.vi;
}

void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
        if(fabs(a[i].x[j])>eps){
            if(!p[j]){
                p[j]=i;
                sum++;
                ans+=a[i].vi;
                break;
            }
            else {
                double t=(double)(1.0*a[i].x[j])/(1.0*a[p[j]].x[j]);
                for(int k=j;k<=m;k++){
                    a[i].x[k]-=t*(a[p[j]].x[k]);
                }
            }
        }
        }
    }
    printf("%d %d",sum,ans);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        scanf("%lf",&a[i].x[j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i].vi);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    solve();
    return 0;
}