【BZOJ3215/3216】[ZJOI2013]话旧/话旧2（组合数学，动态规划）

题面

题解

先解决$3216$，求的是最小值为$0$。

因为起点就是$0$，所以就是在过程中不会到$0$以下。

那么两个相邻位置的合法走法可以转化成网格图上从$(0,0)$走到$(n,m)$，且不穿过直线$y=x-b$的方案数。

这个方案数显然可以组合数计算$\displaystyle {n+m\choose n}-{n+m\choose n+b}$。因为模数很蛋疼，所以$exLucas$一下就好了。其实也没有必要$exLucas$，因为模数分解后就是两个质数的乘积，所以直接$Lucas$后$CRT$合并就好了。

代码放最后面。

然后来解决$3215$，求的是极小值为$0$。

在路径上翻译一下的话就是只要往下走就必定走到$0$位置。

因为需要访问到当前点的时候，路径是在往下还是往上，所以来$dp$，设$f[i][0/1]$表示当前在$i$位置，是路径是在往上还是往下，分情况考虑转移。

$f[i][1]\rightarrow f[i+1][0]$

先考虑最简单的一种情况，即当前点的路径还在往下，而要用一条往上的路径穿过$i+1$。那么延长这两条路径，能够确定两个$0$点，剩下的就是在这两个零点之间反复横跳，设这两个零点之间的距离为$2k$，那么要进行$k$次向上$k$次向下，而分组后两者的分组必定两两相等，所以就是把$k$分成任意数量组的方案数，这个答案是$2^{k-1}$。即对于$i$考虑，其要么和$i-1$在一组要么不在。

$f[i][0]\rightarrow f[i+1][0]$

强行把$i$当做当前$i$节点的往上的路径的终点，那么又能确定两个$0$点，还是假设中间有$2k$个位置，这时候的答案是$2^k$。首先还是可以任意分组，但是第一次还可以选择是否从$i$继续向上延伸。
$f[i][1]\rightarrow f[i][1]$

首先左侧一定要走到底，那么还是可以确定两个$0$点。依旧分组，方案数是$2^{k-1}$，因为右侧需要从上面下来，所以强行把最后一段和右侧合并。
$f[i][0]\rightarrow f[i+1][1]$

还是强制先到$0$，还是中间是$2k$个位置，此时的贡献就是$2^{k}$。因为对于左侧考虑是否把第一段给合并进来，右侧强制把最后一段给合并进来，所以要考虑$k$个东西。

那么直接$dp$就完了，最大值随便求求就好了。

注意这里有些特殊情况，导致$k\le 0$，把这些情况特判处理就好了。

BZOJ3215代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define MOD 19940417

#define MAX 1000100

void add(int &x,int y){x=(x+y)%MOD;}

inline int read()

{

	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return t?-x:x;

}

int fpow(int a,int b)

{

	int s=1;

	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}

	return s;

}

struct Data{int x,y;}a[MAX];

bool operator<(Data a,Data b){return a.x<b.x;}

bool operator==(Data a,Data b){return a.x==b.x&&a.y==b.y;}

int n,K,mx;

int f[MAX][2];

int main()

{

	n=read();K=read();

	for(int i=1;i<=K;++i)a[i].x=read(),a[i].y=read();

	a[++K]=(Data){0,0};a[++K]=(Data){n,0};

	sort(&a[1],&a[K+1]);K=unique(&a[1],&a[K+1])-a-1;

	f[1][1]=1;

	for(int i=1;i<K;++i)

	{

		int p=a[i+1].x-a[i].x-a[i+1].y-a[i].y;p>>=1;

		mx=max(mx,(a[i+1].x+a[i+1].y-a[i].x+a[i].y)/2);

		if(a[i+1].y-a[i].y==a[i].x-a[i+1].x)add(f[i+1][1],(f[i][0]+f[i][1])%MOD);

		else if(a[i+1].y-a[i].y==a[i+1].x-a[i].x)add(f[i+1][0],(f[i][0]+(a[i].y?0:f[i][1]))%MOD);

		else if(p<0)add(f[i+1][1],f[i][0]);

		else if(p==0)add(f[i+1][0],(f[i][0]+f[i][1])%MOD),add(f[i+1][1],f[i][0]);

		else

		{

			int d=fpow(2,p-1);

			if(a[i+1].y)add(f[i+1][0],(f[i][1]+2ll*f[i][0])*d%MOD);

			add(f[i+1][1],(f[i][1]+2ll*f[i][0])*d%MOD);

		}

	}

	printf("%d %d",f[K][1],mx);

	return 0;

}

BZOJ3216代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define MOD 19940417

#define MAX 1000100

inline int read()

{

	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();

	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();

	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();

	return t?-x:x;

}

struct Data{int x,y;}a[MAX];

bool operator<(Data a,Data b){return a.x<b.x;}

int fac[3]={0,7,2848631};

int jc[3][2848631];

int inv[3][2848631];

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1,y=0;return;}exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;}

int Inv(int n,int m){int x,y;exgcd(n,m,x,y);return (x%m+m)%m;}

int C(int n,int m,int p)

{

	if(n<m)return 0;

	return 1ll*jc[p][n]*inv[p][m]%fac[p]*inv[p][n-m]%fac[p];

}

int Lucas(int n,int m,int p)

{

	if(n<p)return C(n,m,p);

	return 1ll*Lucas(n/fac[p],m/fac[p],p)*C(n%fac[p],m%fac[p],p)%fac[p];

}

int C(int n,int m)

{

	int w[3]={0,0,0};if(n<m||n<0||m<0)return 0;

	for(int i=1;i<=2;++i)w[i]=Lucas(n,m,i);

	int x=Inv(fac[1],fac[2]);

	x=1ll*x*(w[2]-w[1]+MOD)%MOD;

	return (1ll*x*fac[1]+w[1])%MOD;

}

int Calc(int n,int m,int b)

{

	int ret=C(n+m,n)-C(n+m,n+b);

	return (ret+MOD)%MOD;

}

int n,K,ans=1,mx;

int main()

{

	n=read();K=read();

	for(int i=1;i<=K;++i)a[i].x=read(),a[i].y=read();

	a[++K]=(Data){0,0};a[++K]=(Data){n,0};

	sort(&a[1],&a[K+1]);

	for(int i=1;i<=2;++i)

	{

		jc[i][0]=inv[i][0]=inv[i][1]=1;

		for(int j=1;j<fac[i];++j)jc[i][j]=1ll*jc[i][j-1]*j%fac[i];

		for(int j=2;j<fac[i];++j)inv[i][j]=1ll*inv[i][fac[i]%j]*(fac[i]-fac[i]/j)%fac[i];

		for(int j=2;j<fac[i];++j)inv[i][j]=1ll*inv[i][j-1]*inv[i][j]%fac[i];

	}

	for(int i=1;i<K;++i)

	{

		int b=a[i].y+1;

		int n=a[i+1].x-a[i].x;

		if(!n)continue;

		int m=a[i+1].y-a[i].y;

		int up=(n+m)/2,dn=(n-m)/2;

		ans=1ll*ans*Calc(up,dn,b)%MOD;

		mx=max(mx,a[i].y+up);

	}

	printf("%d %d\n",ans,mx);

	return 0;

}