【二分讲解及例题】火车站台连锁店-C++
首先我们先来从一个小游戏理解一下二分。(摘自程序员小灰的博客)
为什么说这样效率最高呢?因为每一次选择数字,无论偏大还是偏小,都可以让剩下的选择范围缩小一半。
给定范围0到1000的整数:
第一次我们选择500,发现偏大了,那么下一次的选择范围,就变成了1到499:
第二次我们选择250,发现还是偏大了,那么下一次的选择范围,就变成了1到249:
第三次我们选择125,发现偏小了,那么下一次的选择范围,就变成了126到249:
以此类推,最坏的情况需要猜测多少次呢?答案是 log1000 = 10次,也就是让原本的区间范围进行10次 “折半”。
所以我们很容易发现,二分查找并不会占用更多的空间,但是可以让时间复杂度从O(n)缩减到O(log(n)),这样的速度优化在程序中是非常有效的。
其次就是代码实现问题。
基本代码先贴上,先看看能不能理解:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100+1];
int main()
{
int x,n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
cin>>x;
int left=1,right=n;
while(left<=right)
{
int mid=(left+right)/2;
if(x==mid){cout<<"Find."<<endl<<mid;break;
}
if(mid>x)
{
right=mid+1;
}
else left=mid-1;
}
if(left>right)cout<<"Not find."<<endl;
return 0;
}
left即本次查找区间的左边界,right同理,mid即中点,是下次折半的参照点。
如果要查找的数比中点(mid)还要小,下一次的查找区间就是从left~mid-1,
如果要查找得数比中点(mid)还要大,下一次的查找区间就是从mid+1~right.
如果左边界(left)比右边界(right)还要大,说明这个区间里没有要查找的数,即无法找到。
如果要查找的数就等于中点(mid),说明我们找到了要查找的数。
这几步如果不能理解请参照上面的漫画。
当然,递归也是可以实现的:
void binsearch(int left,int right)
{
if(left<=right)
{
int mid=(left+right)/2;
if (a[mid]==x) {cout<<"Find"<<endl;return;}
if (x<a[mid]) binsearch(left,mid-1);
else binsearch(mid+1,right);
}
else cout<<"Not Find"<<endl;
}
大致掌握了概念之后来看看例题;
火车站台连锁店
描述
蒜头君建立了一家火车站台连锁店,要在一条铁路线的所有车站里,选择一部分车站开办连锁店,销售各种口味的大蒜。
铁路线上有 n 个车站,假设这条铁路线是一条直线,其中每个站点的坐标为 x1,x2,x3,x4...xn
蒜头君一共要开办 m 个连锁店,并且不希望连锁店离得太近,以使得整体的收益最大化。他希望他的连锁店之间的最近距离尽可能大,你能帮他算出这个最大的最近距离吗?
输入
第一行输入用空格分隔的两个整数 n,m(2≤n≤10^5,2≤m≤n),分别表示车站数量和连锁店数量。
接下来一共 n 行,每行一个整数 xi,0≤xi≤10^9,表示车站的坐标。
输出
输出一行整数,表示最大的最近距离。
输入样例 1
6 3
1
3
5
2
7
9
输出样例 1
4
输入样例 2
5 4
5
7
10
28
9
输出样例 2
2
先带着大家理解下题目;
在一段有n个可以开设站台的位置上,请选取其中的m个,使得每两个站台之间的最小距离取得最大值。
大概就是说,你要让这m个站台中,每两个站台之间的距离都尽可能的大。
这道题的二分思路有点复杂emm
首先我们不能直接二分因为压根找不到可以二分的东西
然后因为题目要求输出最短位置,我索性就把最短距离拿来二分!
但是我们需要一个辅助函数count来计算以L为最短距离能够开设多少家店。
函数构造很简单,直接贴上来了:
int count(int l)
{
int last=1,ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(a[i]-a[last]<l)
{
i++;
if(i>n)return ans;
}
last=i;
ans++;
}
return ans;
}
怎么实现查找?
1.首先确定初始范围
因为我们要把最短距离进行二分查找,所以我们需要一个最初始的left以及right的值。可以肯定的是,这个最短距离L一定在1~最大坐标-最小坐标。
2.画图模拟查找过程!
先假设这个图长这个样子:(n=5,m=4)
第一次L的查找的区间是1~13此时mid=7,将mid传入函数count,发现可以开设2家店。
因为2<m(4),所以下一次查找区间变成1~7。(left=1,right=7)
第二次L的查找的区间是1~7此时mid=4,将mid传入函数count,发现可以开设3家店。
因为3<m(4),所以下一次查找区间变成1~4.(left=1,right=4)
第三次L的查找区间是1~4此时mid=2,将mid传入函数count,发现可以开设5家店。
因为5≥m(4),所以下一次查找区间变成2~4.(left=2,right=4)
第四次L的查找区间是2~4,此时mid=3,将mid传入函数count,发现可以开设4家店。
因为4≥m(4),所以下一次查找区间变成3~4(left=3,right=4)
接下来如果不停止,left和right和mid的值再也不会发生任何改变!
为什么?
我们二分的写法是while(left<right)
等等!发现什么不对了吗?
因为我们二分的写法是每次left和right其一等于mid,但当它们其中一个和mid相等的时候,这就成了一个死循环!
所以我们改成:
while(right-left>1)
这样就很好的避免了这个问题!
但是,走出二分之后,我们该输出谁的值?right?
这样是不完全正确的!
可能在最短距离为right的时候,我们无法开设得了m个店!因为我们while的写法,所以我们必须多一下判断:
if(count(right)>=m)cout<<right<<endl;
else cout<<left<<endl;
所以当n=5,m=4,图如下的时候,应该输出的数字是3;
完整代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100000+1];
int n,m;
int count(int l)
{
int last=1,ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(a[i]-a[last]<l)
{
i++;
if(i>n)return ans;
}
last=i;
ans++;
}
return ans;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
sort(a+1,a+1+n);
int left=1,right=a[n]-a[1];
while(right-left>1)
{
int mid=(left+right)/2;
if(count(mid)>=m)
{
left=mid;
}
else right=mid;
}
if(count(right)>=m)cout<<right<<endl;
else cout<<left<<endl;
return 0;
}
ov.
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