【Luogu P3834】可持久化线段树（主席树）

Luogu P3834

可持久化数据结构就是支持在历史版本上进行查询和修改操作的数据结构。

主席树就是对线段树的改进，使之可持久化。

前置知识：动态开点线段树

我们利用权值（值域）线段树统计区间内的数出现的次数。

（权值线段树类似于线段树+桶）

那么我们可以对每一个位置建立一棵线段树，维护\(1\)~\(i\)的数据在一个区间上出现的次数。

求\(a[l...r]\)第k小，可以令第\(r\)棵线段树在区间\([x,y]\)上出现的次数减去上第\(l-1\)棵的线段树在区间\([x,y]\)上出现的次数，这样就可以得出\(a[l...r]\)在区间\([x,y]\)上出现的次数，如果次数小于\(k\)，那么说明第\(k\)大在相邻的下一个区间。

事实上我们不可能对每个位置建立线段树，否则一定会MLE，所以对于这个版本相对于上一个版本没有改变过的节点，我们可以直接使用上一个版本的节点。

结合代码进行理解：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
const int maxn=2e5;
int tot,tree[maxn<<5],ls[maxn<<5],rs[maxn<<5],n,m,a[maxn],b[maxn],rt[maxn],l,r,k;
//rt[]为各个版本的根节点，ls[]为节点的左儿子，rs[]为节点的右儿子
int build(int l,int r)
{
	int now=++tot;
	if (l==r)
	{
		tree[now]++;
		return now;
	}
	ls[now]=build(l,mid);
	rs[now]=build(mid+1,r);
	return now;
}
int update(int root,int l,int r,int pnt)
{
	int now=++tot;//新建节点
	if (l<=pnt&&pnt<=r)
	{
		tree[now]=tree[root]+1;//继承信息
		ls[now]=ls[root];
		rs[now]=rs[root];
		//记录左右儿子，假设可以直接使用上一个版本的节点
	}
	if (l==r) return now;
	if (mid>=pnt) ls[now]=update(ls[now],l,mid,pnt);
	else rs[now]=update(rs[now],mid+1,r,pnt);
	//更新，并更换儿子节点编号
	return now;
}
int query(int u,int v,int l,int r,int k)
{
	if (l==r) return l;
	int tmp=tree[ls[v]]-tree[ls[u]];//计算左区间出现次数
	if (tmp>=k) return query(ls[u],ls[v],l,mid,k);
	else return query(rs[u],rs[v],mid+1,r,k-tmp);//不在
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=a[i];//保存副本供离散化使用
	}
	sort(b+1,b+1+n);
	int newend=unique(b+1,b+1+n)-b-1;
	rt[0]=build(1,newend);//首先建立一个空的线段树
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int loc=lower_bound(b+1,b+1+newend,a[i])-b;
		rt[i]=update(rt[i-1],1,newend,loc);//更新，记录新版本的根节点
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
		int loc=query(rt[l-1],rt[r],1,newend,k);
		printf("%d\n",b[loc]);
	}
	return 0;
}