云心出岫——Splay Tree
(多图预警!!!建议在WiFi下观看)
之前我们谈论过AVL树,这是一种典型适度平衡的二叉搜索树,成立条件是保持平衡因子在[-1,1]的范围内,这个条件已经是针对理想平衡做出的一个妥协了,但依然显得过于苛刻,因为在很多时候我们需要频繁的做重平衡操作,能不能改进一下,让失衡先积累着,然后等到某个时机,一下子全部解决呢?严谨一点来说就是我们能否秉持一种更为宽松的准则,同时又从长远、整体的角度来看,依然不失某种意义上的平衡性呢?如果比作人的话,AVL树就犹如那种处处谨慎的性格,一点风吹草动就要调整自己。那么……能否成为那类更为潇洒的人呢?怎样才能御风蓬叶,泛彼无垠,不被苛刻的平衡所拘束呢?
根据写作套路,那肯定就是点题了……对!就是伸展树了,他的出现是因为有人注意到了在信息处理过程中的“局部性”,就是刚被访问过的数据,极有可能很快的被再次访问到,只要针对这个特性大做文章,就能切中肯綮,而不用对“保持平衡”这件事风声鹤唳了。这也是下面我们要分析的重点。
在二叉搜索树里也时常遇到,主要是两种情况:
- 每次刚刚访问过的某一个节点有可能很快的会再次被我们访问到
- 下次访问的节点即便不是刚访问过的那个节点,也不会离得太远
通过此前的学习我们已经知道,对于AVL树而 每一次查找所需的时间都是logn,因此任意的连续m次查找,所需要的累积时间就是mlogn,为了改进,就针对这个局部性来做一做文章吧:
先来看一个例子,然后类比推理即可。链表里越靠近表头的节点的查找速度越快,遍历所走的步数少嘛,那么如果数据访问有局部性,我们就——访问一个元素后立即把他移动到最前端。
这样做的逻辑是:根据局部性,接下来将要访问的元素很可能就是刚访问的那个元素,而这个元素就在最前端,头部元素的访问是访问是唾手可得的,走一步就到了。从整个数据结构的生命周期而言,这样一个列表结构即便最初是完全随机分布的,在经过了足够长时间的使用之后,在某一段时间内被集中访问的元素都会集中到这个列表的前端去。我们已经知道这个区域(列表前段部分)的访问效率是相应更高的,那就能有更高的访问效率了。
现在回到二叉树,为了对比就让树横过来。
树的顶部元素访问效率更高,所以我们要参照列表,把经常要访问到的元素尽可能的移送到接近树根的位置,也就是要尽可能的降低他们的深度。
那我们就这么办:某个元素一经访问,就把它移到树根处。具体做法就是把被访问元素不断做旋转操作直到抵达树根,这样的策略被称为“逐层伸展”,是一种朴素的想法,但是不够好,因为在最坏情况下树退化为一条单链,我们来个极端的,每次恶意访问最深的节点,就会变成这样:
先注意一下特征:每层只挂了一个节点,这是弊端所在,后面还会提到。然后经过一轮询问,这个树就复原了。看一下整个过程(竖着看)
我们分析一下这一轮操作的代价:假设树的规模是n,访问第一个最深节点的成本是n,第二个节点是n-1,第三个是n-2,然后是n-3,n-4和最终的1。整个成本按算术级数增长,这就很恐怖了,总体时间O(N2),分摊到整个周期的n次操作,复杂度Ω(N)居高不下,和AVL树的logN相差甚远,这已经沦落到了线性序列的地步。另外还有一个弊端在于:我们需要为此考虑很多种特殊情况。所以这个策略无法让人满意。
我们还要另找方法——在初始访问路径上进行一些神奇的旋转,只用了O(1)的空间,而且保持O(logN)的时间复杂度。
具体而言就是:双层伸展,向上追溯两层,通过两次旋转把被访问节点上移至祖父的位置,而且!不是像之前一样自下而上伸展,而是自顶向下进行伸展。这可以说是SplayTree的点睛之笔。这是在1985年Tarjan大神的一篇论文《Self-adjusting binary search trees》里提出来的,有兴趣可以去Google Scholar上瞻仰一番(和他有关的还有一个Tarjan算法,是关于图的连通性的神奇算法)。祖孙三代的相对位置无非四种:
子孙异侧
先从难啃的骨头开始。有些书上会把这种情况称为“之字形”,以此为例:
“这特么不就是双旋转么,而且这也就是逐层伸展两次而已,没什么实质区别啊(摔)”,没错,这个部分区别不大,但重点在于另外这条龙一只眼睛,那才是闪光之处:
子孙同侧
有些书上也称为“一字形”。我们先看一下逐层伸展的调整过程,然后和Tarjan的策略作一比较,就知道差距有多大了。
这是我们凡人想到的方法。下面是Tarjan的点睛之笔:
这里的重中之重是:需要首先越级,从祖父而不是父节点来开始旋转,具体来说就是,经过祖父节点的一次左-左旋转,节点p以及v都会上升一层。接下来对新的树根也就是p,再做一次左-左旋转,把v拉上来成为树根,Done。把这两种方法作一对比,emmm好像没什么大差别啊,是吧?的确这里面的神奇之处一时半会难以察觉,看起来反正都是提高了两层倍,不过它们在局部拓扑结构上还是有微妙差异的,更重要的是——这种局部的微妙差异将导致全局的不同,而且那种不同将是根本性的、颠覆性的!Splay Tree在这个伸展方式的革命中失去的只是锁链,他们获得的将是整个世界。
现在来看看这个差异所带来的利好。如果用这种方式我们再来访问最深的节点,会有什么改进呢?
现在的改进在于每一层能挂更多的节点了,这就是有效控制树高的一个方法。之前说的逐层伸展最坏情况之所以“坏”是因为,尽管能调整到树根,但是在这个过程中树的高度会以算术级数的速度急剧膨胀,这是一种不计后果的方法,所以很坏。而Tarjan的方法优越性在于,在每次即使访问最深的节点时候,也能控制树高,渐进意义上是之前逐层伸展树高的一半,记得前面说的“会导致全局的不同”么,就是这里的树高缩减一半!这个特性太好了,节点越多,访问次数越多,这个控制的效果越明显,这也被称为SplayTree的折叠效果。那么总结一下双层伸展的核心优势——
通过这个例子可以看出:任何一个节点经过访问,再经双层调整后,这个节点所在的路径长度就会减半。甚至可以说——这种效果具有某种意义上的智能:既然在一棵BST中非常忌讳访问很深的节点(这会导致复杂度急剧上升),那这种折叠效果自然就会具有对坏节点的修复作用,我们就不必担心了。犹如含羞草一旦感受到威胁,就会通过迅速收缩,将自己的弱点隐藏起来。因此在采用Tarjan所建议的这种新的策略之后,刚才所举的那种最坏情况就不至持续的发生,可以证明的是单次操作的时间上界是O(logN)。这也就是说!我们现在不仅足以应对此前涉及的最坏情况,而且也不会有任何其他的最坏情况,这是一个再好不过的消息了,简直让人开心到爆炸啊!
复习一下:对Splay Tree最合适的做法是双层伸展,即向上追溯两层,通过两次旋转把被访问节点上移至祖父的位置,并且宏观看来是自顶向下进行伸展。
现在我们先把以上的伸展策略由理想变为现实,然后以此作为基础,去缔造更丰富的功能。
先给出相关的类型声明和要用到的组件:
#ifndef Splay_h
#define Splay_h
struct SplayNode;
typedef struct SplayNode *SplayTree;
typedef struct SplayNode *Position;
SplayTree FindIn(int x,SplayTree T);
SplayTree Splaying(int Item,Position X);
SplayTree Insert(int Item,SplayTree T);
SplayTree Remove(int Item,SplayTree T);
SplayTree FindMin(SplayTree T);
Position FindMax(SplayTree T);
int Retrieve(SplayTree T);
#endif /* Splay_h */ struct SplayNode{
int value;
SplayTree left;
SplayTree right;
}; static Position SingleRotateWithLeft(Position p){//zig
Position temp=p->left;
p->left=temp->right;
temp->right=p;
return temp; }//zig static Position SingleRotateWithRight(Position g){
Position temp=g->right;
g->right=temp->left;
temp->left=g;
return temp;
}//zag
然后我们要把一棵树从无到有的过程给做出来
static Position Origin=NULL; SplayTree Init(){
if (!Origin) { //When the tree we talked about is non-exsitent.
Origin=(SplayTree)malloc(sizeof(struct SplayNode));
Origin->left=Origin->right=NULL;
}
return Origin;
}
这里用Origin代表空指针是为了代码的可读性,这样日后再看起来就能通过变量名清晰地理解代码含义了。不至于过三个月自己写的代码都看不懂2333
下面给出双层伸展过程,这是一个被动技能,上一篇里讲的已经很清楚了所以注释就稍微简略一些。
//Top-down splay procedure,not requiring Item to be in the tree
SplayTree Splaying(int Item,Position X) {
static struct SplayNode Header;
Position LeftMax,RightMin; Header.left=Header.right=Origin;
LeftMax=RightMin=&Header;
Origin->value=Item; while (Item != X->value) {
if (Item < X->value) {
if (Item < X->left->value) {
X=SingleRotateWithLeft(X);
}
if(X->left==Origin)
break;
//Link right
RightMin->left=X;
RightMin=X;
X=X->left;
}
else{
if(Item > X->right->value)
X=SingleRotateWithRight(X);
if(X->right==Origin)
break;
//Link left
LeftMax->right=X;
LeftMax=X;
X=X->right;
}
}//while Item != X->value //Reassemble
LeftMax->right=X->left;
RightMin->left=X->right;
X->left=Header.right;
X->right=Header.left; return X;
}
然后是插入,这个要分情况讨论。假设T是当前的树根,如果T是空树,那么我们建立一颗单节点树。否则的话就围绕着Item把T展开,先把T提到树根的位置(下面的两种情况演示都建立在执行过对T伸展之后)。如果已经存在这个元素,就什么也不做,直接返回。其他的情况就剩ins > T 或者 ins < T 了,我们来分别讨论,比如在下图中插入5
第一步先申请一个节点
然后比较当前根和待插入节点的数值,如果根大了的话,那么就让T和它的右子树一同作为newNode的一棵右子树,相应地让T的左子树成为newNode的左子树。并且让T的左指针收回去。
最后因为要返回T,把T所存的地址变更为新的树根即可。
一道非常美味的Splay树插入过程就制作完成了。
这是根>待插入节点,那如果根<待插入节点呢?逻辑是类似而又对称的。比如在上图的基础上插入15
比较root的值和ins的值,比root大,那就让T和它的左子树一同作为newNode的左子树,让T的右子树成为newNode的右子树。
最后变更一下T的值,即可。
其他的细节都很好理解了:
SplayTree Insert(int Item,SplayTree T) {
//T means original root
static Position NewNode=NULL;
if (!NewNode)
{
NewNode=malloc(sizeof(struct SplayNode));
}
NewNode->value=Item; if (T==Origin)
{
NewNode->left=NewNode->right=NULL;
T=NewNode;
}
else
{
T=Splaying(Item, T);
if (T->value > Item)
{
//look at left subtree
NewNode->left=T->left;
NewNode->right=T;
T->left=Origin;
T=NewNode; //make inserted element as root of tree
}
else if(T->value < Item)
{
//look at right subtree
NewNode->right=T->right;
NewNode->left=T;
T->right=Origin;
T=NewNode; //make inserted element as root of tree
}
else return T; //Already in the tree,we do nothing. } NewNode=NULL;
// it given convince for the next insert,then next insert will call malloc straightly return T; //always make the parameter T act as the root be returned }
最后说删除,这个删除就轻松多了,因为每次展开之后,待删除的元素已经放在根的位置了。话说删除过程比对应的插入过程还要简短,这实属罕见.....
先举个例子,我们要删除5。这是删除前的图,用T表示删除之前全树的树根(切记,不然后面容易搞混):
对5做一次Splaying,就到顶点了。
当根左子树存在的时候,临时节点(new tree)抓住left subtree,以便作为日后的根,接着做一次展开,Newtree就变成新的根了,然后让newTree的右侧挂钩抓住T的右子树…我自己画个图吧
然后把原来的根T(所指的那块内存)free掉,当然这时候T还是存在的,只是那块内存还给OS了。
接下来为了保持程序逻辑的统一性,我们还是返回T,为了让T指向正确的位置,就让T指向当前的根。
大功告成,然后把T打发回去就好了。具体过程如下:
SplayTree Remove(int Item,SplayTree T){
Position NewTree; //
if (T) {
T=Splaying(Item, T);
if (Item==T->value) {
//primarily we find it
if(!T->left)
NewTree=T->right;
else{
NewTree=T->left;
NewTree=Splaying(Item, NewTree);
NewTree->right=T->right;
}
free(T);
T=NewTree;
}
} return T;
}
写到这里我不禁想吐槽一下课本,多给点步骤图不行么……我一开始脑内调试了好久才完全理解的。为了减轻我们的学习成本,我就把里面每一个步骤的分解动作都画出来了,希望能弥补原书缺少实例的这一缺憾吧,书是好书,就是太抽象了2333 如果光看代码没有实例步骤图,只有抽象的开始图片和结束图片,就很难迅速理解。
伸展树到这里就结束了,下一站是——B-树!
云心出岫——Splay Tree的更多相关文章
- [转] Splay Tree(伸展树)
好久没写过了,比赛的时候就调了一个小时,差点悲剧,重新复习一下,觉得这个写的很不错.转自:here Splay Tree(伸展树) 二叉查找树(Binary Search Tree)能够支持多种动态集 ...
- bzoj1251 序列终结者(Splay Tree+懒惰标记)
Description 网上有许多题,就是给定一个序列,要你支持几种操作:A.B.C.D.一看另一道题,又是一个序列 要支持几种操作:D.C.B.A.尤其是我们这里的某人,出模拟试题,居然还出了一道这 ...
- 【BBST 之伸展树 (Splay Tree)】
最近“hiho一下”出了平衡树专题,这周的Splay一直出现RE,应该删除操作指针没处理好,还没找出原因. 不过其他操作运行正常,尝试用它写了一道之前用set做的平衡树的题http://codefor ...
- splay tree 学习笔记
首先感谢litble的精彩讲解,原文博客: litble的小天地 在学完二叉平衡树后,发现这是只是一个不稳定的垃圾玩意,真正实用的应有Treap.AVL.Splay这样的查找树.于是最近刚学了学了点S ...
- 黑匣子_NOI导刊2010提高(06) Splay Tree
题目描述 Black Box是一种原始的数据库.它可以储存一个整数数组,还有一个特别的变量i.最开始的时候Black Box是空的.而i等于0.这个Black Box要处理一串命令. 命令只有两种: ...
- 纸上谈兵:伸展树(splay tree)
作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明.谢谢! 我们讨论过,树的搜索效率与树的深度有关.二叉搜索树的深度可能为n,这种情况下,每次 ...
- bzoj 3223/tyvj 1729 文艺平衡树 splay tree
原题链接:http://www.tyvj.cn/p/1729 这道题以前用c语言写的splay tree水过了.. 现在接触了c++重写一遍... 只涉及区间翻转,由于没有删除操作故不带垃圾回收,具体 ...
- 伸展树 Splay Tree
Splay Tree 是二叉查找树的一种,它与平衡二叉树.红黑树不同的是,Splay Tree从不强制地保持自身的平衡,每当查找到某个节点n的时候,在返回节点n的同时,Splay Tree会将节点n旋 ...
- 树-伸展树(Splay Tree)
伸展树概念 伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树,它能在O(log n)内完成插入.查找和删除操作.它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造. (01) 伸展树属于二 ...
随机推荐
- ansible软件相关模块丶计划任务,剧本
软件相关模块 yum rpm 和yum 的区别 rpm:redhat package manager yum可以解决依赖关系 yum 源配置 [epel] name=Extra Packages fo ...
- 【起航计划 012】2015 起航计划 Android APIDemo的魔鬼步伐 11 App->Activity->Save & Restore State onSaveInstanceState onRestoreInstanceState
Save & Restore State与之前的例子Android ApiDemo示例解析(9):App->Activity->Persistent State 实现的UI类似,但 ...
- 【小结】IIS7下的Http Native Module开发
今天接到Product Manager的通知,Exchange 2007环境下的Native Module不再需要开发(详情可见上篇),但最近几天一直在做Prototype,那就做一下小结吧,总结一下 ...
- April 17 2017 Week 16 Monday
You will find that it is necessary to let things go; simply for the reason that they are heavy. 你会明白 ...
- POJ-1195 Mobile phones---裸的二维树状数组(注意下标从1,1开始)
题目链接: https://vjudge.net/problem/POJ-1195 题目大意: 直接维护二维树状数组 注意横纵坐标全部需要加1,因为树状数组从(1,1)开始 #include<c ...
- 如何迅速掌握并提高linux运维技能(收藏文)
如何迅速掌握并提高linux运维技能 文章来源于南非蚂蚁 之前曾经写过一篇如何学习Linux的文章,得到了很多反馈,大家都在分享自己的学习经验和体会,并且也提出了不少意见和建议.学习这个事情其 ...
- 递归函数之阶乘和字符串反转-基于R和Python
Python课第五周开始讲函数了.递归函数.递归在python中不能超过900多层,否则报错内存溢出什么的.同样在R中递归太深也会报错,阈值和python中大概一样,900多次就报错了. error ...
- CUDA memory
原文链接 CUDA存储器类型: 每个线程拥有自己的register and loacal memory; 每个线程块拥有一块shared memory; 所有线程都可以访问global memory; ...
- js判断移动端还是PC端
function isMobile(){ var sUserAgent= navigator.userAgent.toLowerCase(), bIsIpad= sUserAgent.match(/i ...
- System.Web.UI
类: System.Web.UI.Page 所以窗体继承的类