云心出岫——Splay Tree

（多图预警！！！建议在WiFi下观看）

之前我们谈论过AVL树，这是一种典型适度平衡的二叉搜索树，成立条件是保持平衡因子在[-1,1]的范围内，这个条件已经是针对理想平衡做出的一个妥协了，但依然显得过于苛刻，因为在很多时候我们需要频繁的做重平衡操作，能不能改进一下，让失衡先积累着，然后等到某个时机，一下子全部解决呢？严谨一点来说就是我们能否秉持一种更为宽松的准则，同时又从长远、整体的角度来看，依然不失某种意义上的平衡性呢？如果比作人的话，AVL树就犹如那种处处谨慎的性格，一点风吹草动就要调整自己。那么……能否成为那类更为潇洒的人呢？怎样才能御风蓬叶，泛彼无垠，不被苛刻的平衡所拘束呢？

根据写作套路，那肯定就是点题了……对！就是伸展树了，他的出现是因为有人注意到了在信息处理过程中的“局部性”，就是刚被访问过的数据，极有可能很快的被再次访问到，只要针对这个特性大做文章，就能切中肯綮，而不用对“保持平衡”这件事风声鹤唳了。这也是下面我们要分析的重点。

在二叉搜索树里也时常遇到，主要是两种情况：

• 每次刚刚访问过的某一个节点有可能很快的会再次被我们访问到
• 下次访问的节点即便不是刚访问过的那个节点，也不会离得太远

通过此前的学习我们已经知道，对于AVL树而 每一次查找所需的时间都是logn，因此任意的连续m次查找，所需要的累积时间就是mlogn，为了改进，就针对这个局部性来做一做文章吧：

先来看一个例子，然后类比推理即可。链表里越靠近表头的节点的查找速度越快，遍历所走的步数少嘛，那么如果数据访问有局部性，我们就——访问一个元素后立即把他移动到最前端。

这样做的逻辑是：根据局部性，接下来将要访问的元素很可能就是刚访问的那个元素，而这个元素就在最前端，头部元素的访问是访问是唾手可得的，走一步就到了。从整个数据结构的生命周期而言，这样一个列表结构即便最初是完全随机分布的，在经过了足够长时间的使用之后，在某一段时间内被集中访问的元素都会集中到这个列表的前端去。我们已经知道这个区域（列表前段部分）的访问效率是相应更高的，那就能有更高的访问效率了。

现在回到二叉树，为了对比就让树横过来。

树的顶部元素访问效率更高，所以我们要参照列表，把经常要访问到的元素尽可能的移送到接近树根的位置，也就是要尽可能的降低他们的深度。

那我们就这么办：某个元素一经访问，就把它移到树根处。具体做法就是把被访问元素不断做旋转操作直到抵达树根，这样的策略被称为“逐层伸展”，是一种朴素的想法，但是不够好，因为在最坏情况下树退化为一条单链，我们来个极端的，每次恶意访问最深的节点，就会变成这样：

先注意一下特征：每层只挂了一个节点，这是弊端所在，后面还会提到。然后经过一轮询问，这个树就复原了。看一下整个过程（竖着看）

我们分析一下这一轮操作的代价：假设树的规模是n，访问第一个最深节点的成本是n，第二个节点是n-1，第三个是n-2，然后是n-3，n-4和最终的1。整个成本按算术级数增长，这就很恐怖了，总体时间O（N²），分摊到整个周期的n次操作，复杂度Ω（N）居高不下，和AVL树的logN相差甚远，这已经沦落到了线性序列的地步。另外还有一个弊端在于：我们需要为此考虑很多种特殊情况。所以这个策略无法让人满意。

我们还要另找方法——在初始访问路径上进行一些神奇的旋转，只用了O（1）的空间，而且保持O（logN）的时间复杂度。

具体而言就是：双层伸展，向上追溯两层，通过两次旋转把被访问节点上移至祖父的位置，而且！不是像之前一样自下而上伸展，而是自顶向下进行伸展。这可以说是SplayTree的点睛之笔。这是在1985年Tarjan大神的一篇论文《Self-adjusting binary search trees》里提出来的，有兴趣可以去Google Scholar上瞻仰一番（和他有关的还有一个Tarjan算法，是关于图的连通性的神奇算法）。祖孙三代的相对位置无非四种：

子孙异侧

先从难啃的骨头开始。有些书上会把这种情况称为“之字形”，以此为例：

“这特么不就是双旋转么，而且这也就是逐层伸展两次而已，没什么实质区别啊（摔）”，没错，这个部分区别不大，但重点在于另外这条龙一只眼睛，那才是闪光之处：

子孙同侧

有些书上也称为“一字形”。我们先看一下逐层伸展的调整过程，然后和Tarjan的策略作一比较，就知道差距有多大了。

这是我们凡人想到的方法。下面是Tarjan的点睛之笔：

这里的重中之重是：需要首先越级，从祖父而不是父节点来开始旋转，具体来说就是，经过祖父节点的一次左-左旋转，节点p以及v都会上升一层。接下来对新的树根也就是p，再做一次左-左旋转，把v拉上来成为树根，Done。把这两种方法作一对比，emmm好像没什么大差别啊，是吧？的确这里面的神奇之处一时半会难以察觉，看起来反正都是提高了两层倍，不过它们在局部拓扑结构上还是有微妙差异的，更重要的是——这种局部的微妙差异将导致全局的不同，而且那种不同将是根本性的、颠覆性的！Splay Tree在这个伸展方式的革命中失去的只是锁链，他们获得的将是整个世界。

现在来看看这个差异所带来的利好。如果用这种方式我们再来访问最深的节点，会有什么改进呢？

现在的改进在于每一层能挂更多的节点了，这就是有效控制树高的一个方法。之前说的逐层伸展最坏情况之所以“坏”是因为，尽管能调整到树根，但是在这个过程中树的高度会以算术级数的速度急剧膨胀，这是一种不计后果的方法，所以很坏。而Tarjan的方法优越性在于，在每次即使访问最深的节点时候，也能控制树高，渐进意义上是之前逐层伸展树高的一半，记得前面说的“会导致全局的不同”么，就是这里的树高缩减一半！这个特性太好了，节点越多，访问次数越多，这个控制的效果越明显，这也被称为SplayTree的折叠效果。那么总结一下双层伸展的核心优势——

通过这个例子可以看出：任何一个节点经过访问，再经双层调整后，这个节点所在的路径长度就会减半。甚至可以说——这种效果具有某种意义上的智能：既然在一棵BST中非常忌讳访问很深的节点（这会导致复杂度急剧上升），那这种折叠效果自然就会具有对坏节点的修复作用，我们就不必担心了。犹如含羞草一旦感受到威胁，就会通过迅速收缩，将自己的弱点隐藏起来。因此在采用Tarjan所建议的这种新的策略之后，刚才所举的那种最坏情况就不至持续的发生，可以证明的是单次操作的时间上界是O（logN）。这也就是说！我们现在不仅足以应对此前涉及的最坏情况，而且也不会有任何其他的最坏情况，这是一个再好不过的消息了，简直让人开心到爆炸啊！

复习一下：对Splay Tree最合适的做法是双层伸展，即向上追溯两层，通过两次旋转把被访问节点上移至祖父的位置，并且宏观看来是自顶向下进行伸展。

现在我们先把以上的伸展策略由理想变为现实，然后以此作为基础，去缔造更丰富的功能。

先给出相关的类型声明和要用到的组件：

 #ifndef Splay_h
 #define Splay_h
 struct SplayNode;
 typedef struct SplayNode *SplayTree;
 typedef struct SplayNode *Position;
 SplayTree FindIn(int x,SplayTree T);
 SplayTree Splaying(int Item,Position X);
 SplayTree Insert(int Item,SplayTree T);
 SplayTree Remove(int Item,SplayTree T);
 SplayTree FindMin(SplayTree T);
 Position FindMax(SplayTree T);
 int Retrieve(SplayTree T);
 #endif /* Splay_h */
 
 struct SplayNode{
     int value;
     SplayTree left;
     SplayTree right;
 };
 
 static Position SingleRotateWithLeft(Position p){//zig
     Position temp=p->left;
     p->left=temp->right;
     temp->right=p;
     return temp;
 
 }//zig
 
 static Position SingleRotateWithRight(Position g){
     Position temp=g->right;
     g->right=temp->left;
     temp->left=g;
     return temp;
 }//zag

然后我们要把一棵树从无到有的过程给做出来

 static Position Origin=NULL;  
 
 SplayTree Init(){
     if (!Origin) {   //When the tree we talked about is non-exsitent.
         Origin=(SplayTree)malloc(sizeof(struct SplayNode));
         Origin->left=Origin->right=NULL;
     }
     return Origin;
 }

这里用Origin代表空指针是为了代码的可读性，这样日后再看起来就能通过变量名清晰地理解代码含义了。不至于过三个月自己写的代码都看不懂2333

下面给出双层伸展过程，这是一个被动技能，上一篇里讲的已经很清楚了所以注释就稍微简略一些。

 //Top-down splay procedure,not requiring Item to be in the tree
 SplayTree Splaying(int Item,Position X) {
     static struct SplayNode Header;
     Position LeftMax,RightMin;
 
     Header.left=Header.right=Origin;
     LeftMax=RightMin=&Header;
     Origin->value=Item;
 
     while (Item != X->value) {
         if (Item < X->value) {
             if (Item < X->left->value) {
                 X=SingleRotateWithLeft(X);
             }
             if(X->left==Origin)
                 break;
             //Link right
             RightMin->left=X;
             RightMin=X;
             X=X->left;
         }
         else{
             if(Item > X->right->value)
                 X=SingleRotateWithRight(X);
             if(X->right==Origin)
                 break;
             //Link left
             LeftMax->right=X;
             LeftMax=X;
             X=X->right;
         }
     }//while Item != X->value
 
     //Reassemble
     LeftMax->right=X->left;
     RightMin->left=X->right;
     X->left=Header.right;
     X->right=Header.left;
 
     return X;
 }

然后是插入，这个要分情况讨论。假设T是当前的树根，如果T是空树，那么我们建立一颗单节点树。否则的话就围绕着Item把T展开，先把T提到树根的位置（下面的两种情况演示都建立在执行过对T伸展之后）。如果已经存在这个元素，就什么也不做，直接返回。其他的情况就剩ins > T 或者 ins < T 了，我们来分别讨论，比如在下图中插入5

第一步先申请一个节点

然后比较当前根和待插入节点的数值，如果根大了的话，那么就让T和它的右子树一同作为newNode的一棵右子树，相应地让T的左子树成为newNode的左子树。并且让T的左指针收回去。

最后因为要返回T，把T所存的地址变更为新的树根即可。

一道非常美味的Splay树插入过程就制作完成了。

这是根>待插入节点，那如果根<待插入节点呢？逻辑是类似而又对称的。比如在上图的基础上插入15

比较root的值和ins的值，比root大，那就让T和它的左子树一同作为newNode的左子树，让T的右子树成为newNode的右子树。

最后变更一下T的值，即可。

其他的细节都很好理解了：

 SplayTree Insert(int Item,SplayTree T) {
     //T means original root
     static Position NewNode=NULL;
     if (!NewNode)
     {
         NewNode=malloc(sizeof(struct SplayNode));
     }
     NewNode->value=Item;
 
     if (T==Origin)
     {
         NewNode->left=NewNode->right=NULL;
         T=NewNode;
     }
     else
     {
         T=Splaying(Item, T);
         if (T->value > Item)
         {
             //look at left subtree
             NewNode->left=T->left;
             NewNode->right=T;
             T->left=Origin;
             T=NewNode;  //make inserted element as root of tree
         }
         else if(T->value < Item)
         {
             //look at right subtree
             NewNode->right=T->right;
             NewNode->left=T;
             T->right=Origin;
             T=NewNode;   //make inserted element as root of tree
         }
         else return T; //Already in the tree,we do nothing.
 
     }
 
     NewNode=NULL;
 //  it given convince for the next insert,then next insert will call malloc straightly
 
     return T;  //always make the parameter T act as the root be returned
 
 }

最后说删除，这个删除就轻松多了，因为每次展开之后，待删除的元素已经放在根的位置了。话说删除过程比对应的插入过程还要简短，这实属罕见.....

先举个例子，我们要删除5。这是删除前的图，用T表示删除之前全树的树根（切记，不然后面容易搞混）：

对5做一次Splaying，就到顶点了。

当根左子树存在的时候，临时节点（new tree）抓住left subtree，以便作为日后的根，接着做一次展开，Newtree就变成新的根了，然后让newTree的右侧挂钩抓住T的右子树…我自己画个图吧

然后把原来的根T（所指的那块内存）free掉，当然这时候T还是存在的，只是那块内存还给OS了。

接下来为了保持程序逻辑的统一性，我们还是返回T，为了让T指向正确的位置，就让T指向当前的根。

大功告成，然后把T打发回去就好了。具体过程如下：

 SplayTree Remove(int Item,SplayTree T){
     Position NewTree;  //
     if (T) {
         T=Splaying(Item, T);
         if (Item==T->value) {
             //primarily we find it
             if(!T->left)
                 NewTree=T->right;
             else{
                 NewTree=T->left;
                 NewTree=Splaying(Item, NewTree);
                 NewTree->right=T->right;
             }
             free(T);
             T=NewTree;
         }
     }
 
     return T;
 }

写到这里我不禁想吐槽一下课本，多给点步骤图不行么……我一开始脑内调试了好久才完全理解的。为了减轻我们的学习成本，我就把里面每一个步骤的分解动作都画出来了，希望能弥补原书缺少实例的这一缺憾吧，书是好书，就是太抽象了2333  如果光看代码没有实例步骤图，只有抽象的开始图片和结束图片，就很难迅速理解。

伸展树到这里就结束了，下一站是——B-树！