Task 10 统计从1到某个整数之间出现的1的次数

任务：给定一个十进制的正整数，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现“1”的个数。

要求： 写一个函数 f(N) ，返回1 到 N 之间出现的 “1”的个数。例如 f(12) = 5。

在32位整数范围内，满足条件的“f(N) =N”的最大的N是多少。

1.设计思想：因为上课很多同学都给出了一个一个数地求出所出现的1，最多每个数也就求5、6次，但是所给的整数很大的时候计算机会一下循环递归N次来计算1的次数，这样会导致效率非常低。我们都知道每个位数上都有一定的规律，每一位上出现1的次数都和其前一位和后一位以及当前位上的数字有关系，所以得通过大量的数据一位一位的进行分析，进而找到每个数的规律。

通过对1位数、2位数、3位数，，，进行分析统计，发现如果当前位上的数字为0，1，大于等于1时有不同的情况；则此位上出现的1的次数分别会由更高位数上、更低位或者当前位的数字决定，具体如下：

假设一个数为abcde

如果百位上数字c为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：33033，则可以知道百位出现1的情况可能是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，32100~32199，一共3300个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（ab）乘以 当前位数（100）。

如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：33133，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，32100~32199，一共3300个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（ab）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：33100~33133,一共134个，等于低位数字（cde）+1。

如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的情况是：100~199,1100~1199，2100~2199，...........，11100~11199,12100~12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（ab+1）乘以当前位数（100）。

除了百位上其他位数也都符合这个规律，所以只需要循环整数的位数次就可以求出最终的结果。

然后第二步实现的时候，开始以为只需要一个循环就行了，让计算机循环。不过由于基数太大所以会用很长时间

将要计算的范围划分为几个区间，然后对每个区间进行计算。比如说：

1到999，先将这些数划分为10个区间：1-99、100-199 … 900-999

由f(999) = 300可知，300以后的区间段可以不计算。当计算200时，可以先计算299，由于f(299)=160<200，200-299的区间可以都不必计算。对要计算的区间，再将它划分为10个区间，重复进行。这样划分的另一个好处是利用公式：f(10^n-1) ＝ n * 10^(n-1)，保存上次算得的f(n)直接计算下个数的f(n)。

2.源代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int Count(int n){

    int count = ;//1的个数

    int CurrentPosition = ;//当前位

    int LowerNum = ;//低位数字

    int CurrNum = ;//当前位数字

    int HigherNum = ;//高位数字

    while(n / CurrentPosition != )
    {
        LowerNum = n - (n / CurrentPosition) * CurrentPosition;//低位数字

        CurrNum = (n / CurrentPosition) % ;//当前位数字

        HigherNum = n / (CurrentPosition * );//高位数字

        if(CurrNum == )//如果为0,出现1的次数由高位决定
        {
            count += HigherNum * CurrentPosition;//等于高位数字 * 当前位数
        }

        else if(CurrNum == )//如果为1,出现1的次数由高位和低位决定
        {
            count += HigherNum * CurrentPosition + LowerNum + ;//高位数字 * 当前位数 + 低位数字 + 1
        }

        else//如果大于1,出现1的次数由高位决定
        {
            count += (HigherNum + ) * CurrentPosition;//（高位数字+1）* 当前位数
        }

        CurrentPosition *= ;//前移一位
    }
    return count;
}

void main()
{
    int a;
    cout << "请输入一个正整数：";
    cin >> a;
    cout << a;
    cout << "从1到该数字出现的1的次数为：" << Count(a) << endl;
    for (int i = ; i <  ; i++)
    {
        if( Count(i) == i)
        {
            cout << i << "  ";
        }

    }
}

改进之后：

#include<iostream>
using namespace std;

int Count(int n){

    int count = ;//1的个数

    int CurrentPosition = ;//当前位

    int LowerNum = ;//低位数字

    int CurrNum = ;//当前位数字

    int HigherNum = ;//高位数字

    while(n / CurrentPosition != )
    {
        LowerNum = n - (n / CurrentPosition) * CurrentPosition;//低位数字

        CurrNum = (n / CurrentPosition) % ;//当前位数字

        HigherNum = n / (CurrentPosition * );//高位数字

        if(CurrNum == )//如果为0,出现1的次数由高位决定
        {
            count += HigherNum * CurrentPosition;//等于高位数字 * 当前位数
        }

        else if(CurrNum == )//如果为1,出现1的次数由高位和低位决定
        {
            count += HigherNum * CurrentPosition + LowerNum + ;//高位数字 * 当前位数 + 低位数字 + 1
        }

        else//如果大于1,出现1的次数由高位决定
        {
            count += (HigherNum + ) * CurrentPosition;//（高位数字+1）* 当前位数
        }

        CurrentPosition *= ;//前移一位
    }
    return count;
}

inline unsigned count_digits(unsigned long long num)
{
    unsigned long long n = ;
    unsigned ret = ;
    while (n <= num) { n *= ; ++ret; }
    return ret;
}

void get_nums()
{

    unsigned long long x = 1e11 - , y;
    unsigned count = ;
    unsigned idx = ;
    while (true)
    {
        ++count;
        y = Count(x);
        if (x < y)
        {

            //x在1到10时，均不满足x<y,所以x>10，下面的k值肯定大于0
            unsigned k = count_digits(x) - ;
            x -= (y - x - )/k + ;
        }
        else if (x > y) { x = y; }
        else
        {
           cout<< ++idx << ": " << x << endl;
           //break;
           --x;
           if (x == ) break;
        }
    }
}

void main()
{
    int a;
    cout << "请输入一个正整数：";
    cin >> a;
    cout << a;
    cout << "从1到该数字出现的1的次数为：" << Count(a) << endl;
    cout << "整数与次数相同的有以下这些，最大值为第一个数：";
    get_nums();
}

3.实验截图：

4.实验总结：

（1）这个题目跟之前的同样是数学题类型的程序，需要利用大量的来分析统计，从中得出规律，否则就失去了编程的高效性；

（2）而当完成第一步之后以为第二步很简单，其实不然。感觉当时一定是被成功的喜悦蒙蔽了双眼，只是看它一直在滚动数字，而且也得出了最后的结果，然而却没想到效率的问题，之才发现第二步的设计也包含了好多规律，所以一定要从头到尾保持清醒的头脑。