红黑树：个人理解与Python实现

红黑树：个人理解与Python实现

【基本事实1】

红黑树是一种平衡的二叉查找树，无论插入还是删除操作都可以在O(lg n)内实现，而一般的二叉查找树则在极端情况下会退化为线性结构。
红黑树之所以是平衡的二叉查找树，是因为每个节点都有表示其颜色的域值：红或黑，在插入和删除操作的时候依据节点的颜色向平衡的方向调整。根本原因当然是由红黑树定义所决定的：
如果一个二叉查找树满足如下条件，那么它就称作红黑树：
1.每个节点要么是红色，要么是黑色
2.根结点是黑色
3.每个叶节点(NIL)为黑色
4.如果一个节点是红色，其儿子节点一定是黑色
5.对于每个节点，从该节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点

【个人理解1】

红黑树的定义中，我认为有这些地方要注意：
1.每个节点只有一种颜色（后面删除节点的操作时引入的“额外一重黑色”则不满足此条件，所以一直要性质1调整）
2.定义中的叶节点是指NIL，它们都是黑色，而且没有子节点。根结点的父节点也是NIL。比如只有一个根节点的红黑树，它有两个叶节点。NIL是没有值的，只是一种存在。（我在Python的实现中，把NIL值都设定为None）
3.如果一个节点是红色的，它一定不是根结点，而且一定有父节点（父节点也一定是黑色的）；如果它有儿子节点则一定是黑色儿子节点（每个节点如果左右儿子都是NIL，我认为它没有儿子）
4.性质5说的就是黑高度了

【基本事实2】

红黑树的旋转
红黑树在INSERT和DELETE的过程中，会使用到旋转操作。红黑树有两种旋转：左旋和右旋

左旋x：从右图到左图的过程
右旋y：从左图到右图的过程

【个人理解2】

1.并非每个节点在INSERT或DELETE的过程中都需要旋转操作
2.左旋就是右儿子y取代父节点x，x作为y的做儿子，y原来的左儿子b成为x现在的右儿子
3.右旋就是左旋的逆向过程

【基本事实3】

红黑树的插入
INSERT一个值的过程，就是在二叉查找树的INSERT操作基础上，根据红黑树性质做必要的调整，比如颜色变化，比如旋转，也就是INSERT_FIXUP的过程
插入的节点一般设定为红色然后再调整

【个人理解3】

假设要插入的节点为z，INSERT操作就是把z放到树的最底层，然后用INSERT_FIXUP区调整。INSERT_FIXUP中要注意的是：
1.如果z的父节点是NIL（即：插入节点z之前红黑树为空），那么把z涂黑，并成为根结点（完成插入）
2.如果z的父节点是黑色的，不用调整（完成插入）
3.如果z的父节点是红色的：
3-0：如果z没有叔叔节点，那么：
3-0-0：如果z为右儿子，且z的父节点p为左儿子，则左旋z的父节点，成为3-0-1；如果z为左儿子，且z的父节点p为右儿子，则右旋z的父节点p，成为3-0-1；
3-0-1：如果z为左儿子，则“父涂黑，爷涂红”，然后如果父节点是左儿子，则“爷右旋”，否则“爷左旋”（完成插入）
3-1：如果z的叔叔节点为黑色，那么：
3-1-0：如果z是右儿子，且z的父节点p为左儿子，则左旋z的父节点，成为3-1-1；如果z为左儿子，且z的父节点p为右儿子，则右旋z的父节点p，成为3-1-1；
3-1-1：如果z是左儿子，那么“父涂黑，爷涂红”，然后如果父节点是左儿子，则“爷右旋”，否则“爷左旋”（完成插入）
3-2：如果z的叔叔节点为红色，那么“父涂黑，叔涂黑，爷涂红”，并对爷爷节点g调用INSERT_FIXUP过程
以上序号和《算法导论》中的对应关系：3-2对应case1，3-1-0对应case2，3-1-1对应case3

【基本事实4】

1.红黑树删除一个节点的操作比较复杂，但也是在二叉查查找树的基础上，调用DELETE_FIXUP过程来调整
2.如果要删除的节点z，它有两个儿子，那么让z的值设定为z的后继节点y的值，然后删除y
3.如果要删除的节点z只有一个儿子x，那就让z的节点p和x成为“父子”。如果z原来是红色的，则不必调用DELETE_FIXUP过程，否则要调用
4.如果要删除的节点z没有儿子：那就直接删除z好了
5.删除节点时引入了“额外的一层黑色”，《算法导论》中文第二版P173这样说：
“在RB—DELETE中，如果被删除的节点y是黑色的，则会产生三个问题。首先，如果y原来是根结点，而y的一个红色的孩子成为了新的根，这就问犯了性质2）。其次，如果x和p[y]（现在也是p[x]）都是红的，就违反了性质4）。第三，删除y将导致先前包含y的任何路径上黑节点个数少1。因此，性质5）被y的一个祖先破坏了。不久者恶问题的一个办法就是把结点x视为还有额外的一重黑色。也就是说，如果将人以包含结点x的路径上黑节点个数加1，则在这种假设下，性质5）成立。当将黑节点y删除时，将其黑色“下推”至其子节点。现在为题变为结点x可能既不是红，又不是黑，从而违反了性质1）。结点x是双重黑色或红黑，这就分别给包含x的路径上黑结点个数贡献2个或1个。x的color属性仍然是RED（如果x是红黑的）或BLACK（如果x是双重黑色）。换言之，一个结点额外的黑色反映在x指向它，而不是它的color属性。”

【个人理解4】

1.当你想举反例推翻某个“结论”时，请注意，你的反例中的红黑树可能并不是红黑树；或者，它满足红黑树的定义，但无法判断是否能通过“每次插入一个节点”的方式生成。
2.因为有“额外一重黑色”的存在，《算法导论》中关于红黑树删除的case1中，调整前后的两幅图虽然“看上去是镜面对称”，但前者不满足性质5，调整后满足性质5
3.《算法导论》中关于红黑树删除的case2中，x现在为黑色，且有额外的一重黑色（就像是背负着子孙们的希望。。。），此时将x和w都去掉一个黑色，然后使p（x）增加额外的一层黑色。由于w原本为黑色，则现在令w为红色即可。此时令new_x=p(x)，若new_x原本为红色，置黑即可结束；否则，对new_x调用DELETE_FIXUP过程
4.DELETE_FIXUP过程，调整的是DELETE(z)过程中z的左/右儿子(当z只有一个儿子时)，或者z的后继的右儿子

#coding:utf8
#author:HaxtraZ
#description:红黑树，python实现
from random import randint

RED = 'red'
BLACK = 'black'

class RBT:
    def __init__(self):
       # self.items = []
        self.root = None
        self.zlist = []

    def LEFT_ROTATE(self, x):
        # x是一个RBTnode
        y = x.right
        if y is None:
            # 右节点为空，不旋转
            return
        else:
            beta = y.left
            x.right = beta
            if beta is not None:
                beta.parent = x

            p = x.parent
            y.parent = p
            if p is None:
                # x原来是root
                self.root = y
            elif x == p.left:
                p.left = y
            else:
                p.right = y
            y.left = x
            x.parent = y

    def RIGHT_ROTATE(self, y):
        # y是一个节点
        x = y.left
        if x is None:
            # 右节点为空，不旋转
            return
        else:
            beta = x.right
            y.left = beta
            if beta is not None:
                beta.parent = y

            p = y.parent
            x.parent = p
            if p is None:
                # y原来是root
                self.root = x
            elif y == p.left:
                p.left = x
            else:
                p.right = x
            x.right = y
            y.parent = x

    def INSERT(self, val):

        z = RBTnode(val)
        y = None
        x = self.root
        while x is not None:
            y = x
            if z.val < x.val:
                x = x.left
            else:
                x = x.right

        z.PAINT(RED)
        z.parent = y

        if y is None:
            # 插入z之前为空的RBT
            self.root = z
            self.INSERT_FIXUP(z)
            return

        if z.val < y.val:
            y.left = z
        else:
            y.right = z

        if y.color == RED:
            # z的父节点y为红色，需要fixup。
            # 如果z的父节点y为黑色，则不用调整
            self.INSERT_FIXUP(z)

        else:
            return

    def INSERT_FIXUP(self, z):
        # case 1:z为root节点
        if z.parent is None:
            z.PAINT(BLACK)
            self.root = z
            return

        # case 2:z的父节点为黑色
        if z.parent.color == BLACK:
            # 包括了z处于第二层的情况
            # 这里感觉不必要啊。。似乎z.parent为黑色则不会进入fixup阶段
            return

        # 下面的几种情况，都是z.parent.color == RED:
        # 节点y为z的uncle
        p = z.parent
        g = p.parent  # g为x的grandpa
        if g is None:
            return
            #   return 这里不能return的。。。
        if g.right == p:
            y = g.left
        else:
            y = g.right

        # case 3-0:z没有叔叔。即：y为NIL节点
        # 注意，此时z的父节点一定是RED
        if y == None:
            if z == p.right and p == p.parent.left:
                # 3-0-0:z为右儿子,且p为左儿子，则把p左旋
                # 转化为3-0-1或3-0-2的情况
                self.LEFT_ROTATE(p)
                p, z = z, p
                g = p.parent
            elif z == p.left and p == p.parent.right:
                self.RIGHT_ROTATE(p)
                p, z = z, p

            g.PAINT(RED)
            p.PAINT(BLACK)
            if p == g.left:
                # 3-0-1:p为g的左儿子
                self.RIGHT_ROTATE(g)
            else:
                # 3-0-2:p为g的右儿子
                self.LEFT_ROTATE(g)

            return

        # case 3-1:z有黑叔
        elif y.color == BLACK:
            if p.right == z and p.parent.left == p:
                # 3-1-0:z为右儿子,且p为左儿子,则左旋p
                # 转化为3-1-1或3-1-2
                self.LEFT_ROTATE(p)
                p, z = z, p
            elif p.left == z and p.parent.right == p:
                self.RIGHT_ROTATE(p)
                p, z = z, p

            p = z.parent
            g = p.parent

            p.PAINT(BLACK)
            g.PAINT(RED)
            if p == g.left:
                # 3-1-1:p为g的左儿子，则右旋g
                self.RIGHT_ROTATE(g)
            else:
                # 3-1-2:p为g的右儿子，则左旋g
                self.LEFT_ROTATE(g)

            return

        # case 3-2:z有红叔
        # 则涂黑父和叔，涂红爷，g作为新的z，递归调用
        else:
            y.PAINT(BLACK)
            p.PAINT(BLACK)
            g.PAINT(RED)
            new_z = g
            self.INSERT_FIXUP(new_z)

    def DELETE(self, val):
        curNode = self.root
        while curNode is not None:
            if val < curNode.val:
                curNode = curNode.left
            elif val > curNode.val:
                curNode = curNode.right
            else:
                # 找到了值为val的元素,正式开始删除

                if curNode.left is None and curNode.right is None:
                    # case1:curNode为叶子节点：直接删除即可
                    if curNode == self.root:
                        self.root = None
                    else:
                        p = curNode.parent
                        if curNode == p.left:
                            p.left = None
                        else:
                            p.right = None

                elif curNode.left is not None and curNode.right is not None:
                    sucNode = self.SUCCESOR(curNode)
                    curNode.val, sucNode.val  = sucNode.val, curNode.val
                    self.DELETE(sucNode.val)

                else:
                    p = curNode.parent
                    if curNode.left is None:
                        x = curNode.right
                    else:
                        x = curNode.left
                    if curNode == p.left:
                        p.left = x
                    else:
                        p.right = x
                    x.parent = p
                    if curNode.color == BLACK:
                        self.DELETE_FIXUP(x)

                curNode = None

        return False

    def DELETE_FIXUP(self, x):
        p = x.parent
        # w:x的兄弟结点
        if x == p.left:
            w = x.right
        else:
            w = x.left

        # case1:x的兄弟w是红色的
        if w.color == RED:
            p.PAINT(RED)
            w.PAINT(BLACK)
            if w == p.right:
                self.LEFT_ROTATE(p)
            else:
                self.RIGHT_ROTATE(p)

        if w.color == BLACK:
            # case2:x的兄弟w是黑色的，而且w的两个孩子都是黑色的
            if w.left.color == BLACK and w.right.color == BLACK:
                w.PAINT(RED)
                if p.color == BLACK:
                    return
                else:
                    p.color = BLACK
                    self.DELETE_FIXUP(p)

            # case3:x的兄弟w是黑色的，而且w的左儿子是红色的，右儿子是黑色的
            if w.left.color == RED and w.color == BLACK:
                w.left.PAINT(BLACK)
                w.PAINT(RED)
                self.RIGHT_ROTATE(w)

            # case4:x的兄弟w是黑色的，而且w的右儿子是红
            if w.right.color == RED:
                p.PAINT(BLACK)
                w.PAINT(RED)
                if w == p.right:
                    self.LEFT_ROTATE(p)
                else:
                    self.RIGHT_ROTATE(p)

    def SHOW(self):
        self.DISPLAY1(self.root)
        return self.zlist

    def DISPLAY1(self, node):
        if node is None:
            return
        self.DISPLAY1(node.left)
        self.zlist.append(node.val)
        self.DISPLAY1(node.right)

    def DISPLAY2(self, node):
        if node is None:
            return
        self.DISPLAY2(node.left)
        print node.val,
        self.DISPLAY2(node.right)

    def DISPLAY3(self, node):
        if node is None:
            return
        self.DISPLAY3(node.left)
        self.DISPLAY3(node.right)
        print node.val,

class RBTnode:
    '''红黑树的节点类型'''
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None
        self.parent = None

    def PAINT(self, color):
        self.color = color

def zuoxuan(b, c):
    a = b.parent
    a.left = c
    c.parent = a
    b.parent = c
    c.left = b

if __name__ == '__main__':
    rbt=RBT()
    b = []

    for i in range(100):
        m = randint(0, 500)
        rbt.INSERT(m)
        b.append(m)

    a = rbt.SHOW()
    b.sort()
    equal = True
    for i in range(100):
        if a[i] != b[i]:
            equal = False
            break

    if not equal:
        print 'wrong'
    else:
        print 'OK!'

　　PS:这篇文章刚写好的时候，代码中是有错误的，而且DELETE_FIXUP()也没有给出；分析中也有小错误。不过现在已经改正了，代码中通过随机生成的数字，用系统的排序和我写的红黑树的排序对比，发现是结果是一样的，所以可以认为前面的算法分析是正确的。不过，速度上其实还是有点慢的，比如我用红黑树去排序，用在一道codeforces的题目中取代系统的sort，结果就会超时。