【BZOJ3456】轩辕朗的城市规划 EGF+多项式求ln

我们构造$f(i)$和$g(i)$。

其中$f(x)$表示由$x$个节点构成的无向简单连通图的个数。

$g(x)$表示有$x$个节点构成的无向简单图（不要求连通）的个数。

显然，由$x$个节点构成的无向简单图最多能有$\binom{x}{2}$条边，那么$g(x)=2^{\binom{x}{2}}$。

然后我们构造$f(x)$和$g(x)$的$EGF$：

$F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} f(i) \times \frac{x^i}{i!}$。

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} g(i) \times \frac{x^i}{i!}\ =\sum_{i=0}^{\infty} 2^{\binom{x}{2}} \times \frac{x^i}{i!}$。

然后我们又不难发现，$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{F(x)^i}{i!}$。（这个式子可以这样理解：图中包含$1$个联通块的生成函数为$F(x)$，包含$2$个连通块的生成函数为$\frac{1}{2}F^2(x)$，包含$3$个连通块的生成函数为$\frac{1}{3!} F^3(x)$，以此类推）

考虑到$e^x$的泰勒展开式为$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$，则 $G(x)=e^{F(x)}$。

由于多项式$G(x)$我们已经求得，则$F(x)=ln(G(x))$。

则答案为$[x^n]F(n) \times n!$。

考虑到多项式求ln的时间复杂度为O(n long n)，则该算法的时间复杂度为O(n log n)。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M (1<<19)
 #define L long long
 #define G 3
 #define MOD 1004535809
 using namespace std;
 
 L pow_mod(L x,L k){
     L ans=;
     while(k){
         if(k&) ans=ans*x%MOD;
         x=x*x%MOD; k>>=;
     }
     return ans;
 }
 
 void change(L a[],int n){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){
         if(i<j) swap(a[i],a[j]);
         int k=n>>;
         while(j>=k) j-=k,k>>=;
         j+=k;
     }
 }
 void NTT(L a[],int n,int on){
     change(a,n);
     for(int h=;h<=n;h<<=){
         L wn=pow_mod(G,(MOD-)/h);
         for(int j=;j<n;j+=h){
             L w=;
             for(int k=j;k<j+(h>>);k++){
                 L u=a[k],t=a[k+(h>>)]*w%MOD;
                 a[k]=(u+t)%MOD;
                 a[k+(h>>)]=(u-t+MOD)%MOD;
                 w=w*wn%MOD;
             }
         }
     }
     if(on==-){
         L inv=pow_mod(n,MOD-);
         for(int i=;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%MOD;
         reverse(a+,a+n);
     }
 }
 
 void getinv(L a[],L b[],int n){
     if(n==){b[]=pow_mod(a[],MOD-); return;}
     static L c[M],d[M];
     memset(c,,M<<); memset(d,,M<<);
     getinv(a,c,n>>);
     for(int i=;i<n;i++) d[i]=a[i];
     NTT(d,n<<,); NTT(c,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) b[i]=(*c[i]-d[i]*c[i]%MOD*c[i]%MOD+MOD)%MOD;
     NTT(b,n<<,-);
     for(int i=;i<n;i++) b[i+n]=;
 }
 
 void qiudao(L a[],L b[],int n){
     for(int i=;i<n;i++) b[i-]=a[i]*i%MOD;
 }
 void jifen(L a[],L b[],int n){
     for(int i=;i<n;i++) b[i+]=a[i]*pow_mod(i+,MOD-)%MOD;
 }
 
 void getln(L a[],L b[],int n){
     static L inva[M],pia[M];
     memset(inva,,M<<); memset(pia,,M<<);
     getinv(a,pia,n); qiudao(a,inva,n);
     NTT(pia,n<<,); NTT(inva,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++) pia[i]=pia[i]*inva[i]%MOD;
     NTT(pia,n<<,-);
     jifen(pia,b,n);
 }
 
 L a[M]={},f[M]={};
 L fac[M]={},invfac[M]={};
 
 int main(){
     fac[]=;
     int n; scanf("%d",&n);
     int nn=; while(nn<=n) nn<<=;
 
     for(int i=;i<nn;i++) fac[i]=fac[i-]*i%MOD;
     invfac[nn-]=pow_mod(fac[nn-],MOD-);
     for(int i=nn-;~i;i--) invfac[i]=invfac[i+]*(i+)%MOD;
 
     for(L i=;i<nn;i++) a[i]=pow_mod(,i*(i-)/)*invfac[i]%MOD;
     getln(a,f,nn);
 
     printf("%lld\n",f[n]*fac[n]%MOD);
 }